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bestimmung von Abnahmerate und Integration

Schüler

Tags: Abnahmerate, Exponentialfunktion, Verkaufsrate

creme aktiv_icon

17:48 Uhr, 19.09.2013

Hallihallo,
Wir haben zu morgen folgende Aufgaben auf und ich steige da noch nicht so richtig durch und habe auch Begriffs Probleme ..
es wäre super , wenn mir da jemand helfen könnte :-) ?!

Im Folgenden beschreibt die Funktion

f

mit der Gleich7ung

f (t) = 10 \cdot t \cdot e^{- (\frac{t}{4})}

die momentane Verkaufsrate eines Gutes in Abhängigkeit der Zeit. Dabei ist

t

die Zeit nach Verkaufsbeginn in Monaten und

f (t)

die momentane Verkaufsrate in

100

Stück/Monat

a)

Berechnen sie den Zeitpunkt, an dem die Verkaufsrate am stärksten sinkt und bestimmten sie die Abnahmerate

b)

Weisen sie nach, dass

F (t) = - 40 \cdot (t + 4) \cdot e^{- (\frac{t}{4})}

eine Stammfunktion von

f

ist !
Bestimmen sie mit ihrer Hilfe die Gesamtzahl der Verkauften Güter in den ersten 6 Monaten nach Verkaufsbeginn

Zu a)Ist der Zeitpunkt , an dem die Verkaufsrate am stärksten sinkt die Wendestelle ?
Was ist mit abnahmerate gemeint ? Die steigung an dem Punkt , wo die Verkaufsrate am stärkesten ist ?
wie würde ich ableiten , wenn ich eigentlich die Produktregel anwendenmüsste und im Exponenten von

e

einen Bruch habe ?

zu

b)

Wie berechne ich die Gesamtzahl der verkauften Güter in den ersten 6 Monaten
nach Verkaufsbeginn ? Integrieren ? und dann ?

vielen Dank zu bden Antworten schon einmal im Vorraus :-))
Mfg Creme

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten

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CRS-55 aktiv_icon

20:01 Uhr, 19.09.2013

Hallo!

zu a) Stimmt beides.

Zu deiner Frage zum Ableiten: Meinst du z.B. sowas?

$f (t) = 10 \cdot t \cdot e^{- (\frac{4}{t})}$

Dazu wäre die Ableitung:

$f^{'} (t) = 10 \cdot [t^{'} \cdot e^{- (\frac{4}{t})} + t \cdot {(e^{- (\frac{4}{t})})}^{'}] = 10 \cdot [1 \cdot e^{- (\frac{4}{t})} + t \cdot e^{- (\frac{4}{t})} \cdot {(- (\frac{4}{t}))}^{'}] = 10 \cdot [e^{- (\frac{4}{t})} + t \cdot e^{- (\frac{4}{t})} \cdot (\frac{4}{t^{2}})] = e^{- (\frac{4}{t})} \cdot (10 + \frac{40}{t})$

zu b) Genau, du integrierst von 0 bis 6, Stammfunktion hast du ja schon... Nur nicht vergessen das Ergebnis mit 100 zu multiplizieren, denn es sind ja immer 100 Stk/ Monat.

creme aktiv_icon

22:03 Uhr, 19.09.2013

Ok , ja super danke , genau das meinte ich :-)
und wäre die normale Ableitung von

f (x) = 10 t \cdot e^{- (\frac{t}{4})}

f' (x) = 10 \cdot e^{- (\frac{t}{4})} + \frac{1}{4} e^{- (\frac{t}{4})} \cdot 10 t

und somit

f' (x) = (10 t + 10 + \frac{1}{4}) \cdot e^{- (\frac{t}{4})}

und

f'' (x) = (20 + \frac{2}{4} + 10 t) \cdot e^{- (\frac{t}{4})}

?

das wäre dann die Produktregel, aber ich wüsste gerne ob dass so richtig ist, weil ich mir beim Ausklammern immer so unsicher bin

\frac{:}{}

mfg
Creme :-)

supporter aktiv_icon

07:45 Uhr, 20.09.2013

Deine Ableitung ist fehlerhaft.

f' (x) = 10 e^{- \frac{t}{4}} + 10 t \cdot e^{- \frac{t}{4}} \cdot (- \frac{1}{4})

= 10 e^{- \frac{t}{4}} - 2,5 t \cdot e^{- \frac{t}{4}}

= e^{- \frac{t}{4}} \cdot (10 - 2,5 t)

für

f'' (x)

verwende zur Anwendung der Produktregel:

u = e^{- \frac{t}{4}} - - \to u' = - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{1}{4}}

v = 10 - 2,5 t - - \to v' = - 2,5

creme aktiv_icon

16:41 Uhr, 23.09.2013

Vielen dank , ich glaube ich habe dass soweit verstanden :-) , aber müsste bei

u'

nicht im exponenten

- (\frac{t}{4})

stehen ?

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