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differenzierbar, falls Ableitung stetig ergänzbar?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Grenzwert, Stetigkeit

student11 aktiv_icon

23:11 Uhr, 29.02.2012

Hallo zusammen

Ich habe ein kleines Problem bezüglich Stetigkeit, stetiger Ergänzbarkeit und Differenzierbarkeit.

Eine Funktion ist ja differenzierbar an einer Stelle

x_{0},

falls der Grenzwert des Differenzenquotients existiert..

Nun habe ich aber bei folgender Aufgabe ein Problem:

f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x + | x |) \cdot \sqrt{| x |}

Ich denke, dass eine kritische Stelle

x_{0} = 0

sein könnte..
Dazu betrachte ich aber zuerst die Funktion für

1) x > 0 : f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x + x) \cdot \sqrt{x} = x \cdot \sqrt{x} \Rightarrow f' (x) = \sqrt{x} + \frac{x}{2 \cdot \sqrt{x}}

2) x < 0 : f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x - x) \cdot \sqrt{- x} = 0 \Rightarrow f' (x) = 0

Also erhalte ich sicherlich mal, dass

f (x)

für

x > 0

und

x < 0

differenzierbar ist.

Für

x = 0

habe ich nun aber 3 verschiedene Methoden, die nicht alle zum gleichen Ziel führen:

a)

f (x)

an der Stelle

x = 0

definiert ist, betrachte ich

f (0) = 0 \Rightarrow f' (0) = 0,

somit ist

f (x)

auch an der Stelle

x = 0

differenzierbar und somit überall.

b)

ich betrachte den Grenzwert von beiden Seiten des Differenzenquotienten:

i) x > 0 : \frac{f (x)}{x} = \frac{x \cdot \sqrt{x}}{x} = \sqrt{x} \to 0

für

x \to 0

ii)

x < 0 : \frac{f (x)}{x} = \frac{0}{x} \to 0

für

x \to

0¨
Da der Limes des Differenzenquotienten existiert von beiden Seiten und derselbe ist, sollte

f (x)

an der Stelle

x = 0

differenzierbar sein.

c)

Ich leite die Funktion "allgemein" ohne Fallunterscheidung ab..

f' (x) =

((|x|+x)*(sign(x)+2)) / (4*sqrt(abs(x)), (Taschenrechner), was an der Stelle

x = 0

undefiniert ist..

Nun meine Frage: Welche Methode ist nun die richtige? Ich sehe irgendwie bei keiner ein Problem, aber kann ja nicht sein, dass die sich widersprechen..
Wenn ich eine Funktion habe, die an einem Wert

x_{0}

definiert ist, könnte ich doch immer gerade direkt an dieser Stelle die Ableitung ausrechnen, und wüsste dann, dass die Funktion differenzierbar ist, oder nicht? (siehe

a)

.
Wenn die beidseitigen Grenzwerte existieren, sollte die Funktion aber auch differenzierbar sein, oder? (sofern sie gleich sind, siehe

b)

.
Nach

c

ist aber

f'

an der Stelle

x = 0

nicht definiert.. Bedeutet das immer direkt, dass

f

an der Stelle

x

nicht differenzierbar ist, wenn sie dort nicht definiert ist? Ich könnte ja

f'

stetig ergänzen an der Stelle

x = 0

mit

f' (x) := 0

(siehe

b)

und hätte somit eine stetige Funktion

f'

.

Irgendwo muss ein grundlegender Überlegungsfehler sein..

Vielen vielen Dank für eure Hilfe und das Lesen dieses langen Texts..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
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Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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hagman aktiv_icon

00:03 Uhr, 01.03.2012

Am wenigsten ist natürlich dem Taschenrechner zu trauen, solange du seinen Quellcode hier nicht wiedergeben und Schritt für Schritt begründen kannst.
Alle direkt begründeten Ergebnisse von dir stehen in keinem Widerspruch zueinander

student11 aktiv_icon

16:51 Uhr, 01.03.2012

Also ist die oben definierte Funktion überall differenzierbar, und beide Methoden

a)

direktes Einsetzen des Funktionswerts und dann ableiten

b)

Fallunterscheidung und Betrachten des Differenzenquotients

liefern in jedem Fall für jede beliebige Funktion dasselbe Ergebnis? Methoden a und

b

sind also beide korrekt?

Sollte denn die Methode

c)

Ableitung allgemein betrachten und danach in

f'

Stelle

x_{0}

einsetzen

auch zum richtigen Resultat führen, oder habe ich etwas Falsches in den Taschenrechner eingegeben, die Ausgabe falsch interpretiert??
Kann es sein, dass ich eine überall differenzierbare Funktion ableite, und diese Ableitung für ein

x_{0}

nicht definiert, nur stetig ergänzbar ist? Kann man dann von Differenzierbarkeit an der Stelle

x_{0}

sprechen, oder nicht?

Oder sollte man in so Fällen, indem man die Ableitung noch nicht mal wirklich von Hand berechnen kann, da

| x |

nicht überall differenzierbar ist, direkt auf Methode

b,

beziehungsweise falls möglich a setzen?

irena

16:59 Uhr, 01.03.2012

Hallo,
kleine Anmerkung zu deinem Punkt

2) : x < 0 : f (x) = 0,

dabei hast du übersehen

\sqrt{- x}

->nicht def.!

hagman aktiv_icon

17:16 Uhr, 01.03.2012

c)

Der Taschenrechner kann antürlich nicht so richtig Funktionen ableiten, die zusammengesetzt sind aus nicht differenzierbaren Funktionen (Was gibt dein TR beispielsweise als Ableitung von

f (x) = | x |

aus? Vermutlich die falsche Antwort sgn(x) ). Die Antwort des TR ist vermutlich korrekt für alle x-Werte, an denen alle Teilausdrücke(!) der Eingabe differenzierbar sind und das Ergebnis definiert ist.
Und immerhin handelt es sich bei der Definitionslücke des vom TR gefundeen Ausdrucks ja um eine hebbare Stetigkeitslücke

student11 aktiv_icon

17:24 Uhr, 01.03.2012

irena.
Täusche ich mich, oder ist die Wurzel trotzdem definiert?
Wenn ja

x < 0,

dann ist

\sqrt{- x} = \sqrt{| x |},

da das Negative einer negativen Zahl eine positive Zahl ist.

zu hagman:
Tatsächlich gibt mein Taschenrechner |x|'=sign(x) aus, was aber ja eigentlich schon das richtige Resultat ist. DEnn für sign(0) wird ja

\pm 1

geliefert, was genau bedeutet, dass ein Wert des Defintionsbereichs auf zwei Funktionswerte abgebildet wird, somit ist es keine "Funktion" an dieser Stelle und somit

| x |

nicht differenzierbar an der Stelle

x_{0} .

.
Aber ich denke, ich werde lieber auf den Taschenrechner verzichten, da wir ihn eigentlich sowieso nicht verwenden sollten.

Eines ist mir aber immer noch unklar: Du sagst:

"Und immerhin handelt es sich bei der Definitionslücke des vom TR gefundeen Ausdrucks ja um eine hebbare Stetigkeitslücke".

Kann ich daraus direkt was schliessen?

Gilt:

Ableitung einer Funktion an einer Stelle

x_{0}

nicht definiert, aber stetig ergänzbar

\Rightarrow

Funktion an der Stelle

x_{0}

differenzierbar

Also könnte ich direkt den Term meines Taschenrechners nehmen und auf stetige Ergänzbarkeit an der Stelle

x_{0} = 0

prüfen und direkt sehen, dass somit

f

an dieser Stelle differenzierbar ist?

irena

17:27 Uhr, 01.03.2012

Stimmt sorry!!

hagman aktiv_icon

17:37 Uhr, 01.03.2012

Üblicherweise ist sgn(0)

= 0

definiert.

Zunächst heißt "hebbare Lücke", dass der Ausdruck möglicherweise "unvollkommen" ist, so wie

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

bei

x = 1

nicht definiert ist, aber überall sonst mit

x + 1

übereinstimmt - nur dass hier ein einfacher Ausdruck, der die Lücke mit umfasst, entweder nicht existiert oder dem doofen Taschenrechner nicht in den

\in n

gekommen ist. (natürlich kann man zumindest rückblickend einen einzigen geschlossenen Ausdruck finden:

f' (x) = \frac{3}{4} \sqrt{| x |} \cdot (s g n (x) + 1),

aber so etwas ist ohnehin nicht von Nutzen)

Die eigentlich interessante Frage die dahinter steckt (und du eigentlich schon im Betreff formuliert hattest):
Seien (der Einfachheit halber)

f : ℝ \to ℝ

und

g : ℝ \to ℝ

Funktionen mit

f

ist in 0 stetig

g

ist in 0 stetig
Für

x \neq 0

ist

f' (x) = g (x)

In der Tat gilt dann, dass

f

bei

x = 0

differenzierbar ist und

f' (0) = g (0)

.
Das sieht man leicht ein:
Es ist unter diesen Voraussetzungen nach dem Mittelwertsatz

f (h) - f (0) = g (ξ) \cdot h

für ein

ξ = ξ (h)

zwischen 0 und

h,

also

lim_{h \to 0} \frac{f (h) - f (0)}{h} = lim_{h \to 0} g (ξ (h)) = g (0)

wegen

lim_{h_{>} 0} ξ (h) = 0

und der Stetigkeit in 0 von

g

student11 aktiv_icon

17:43 Uhr, 01.03.2012

Hmm, mein Taschenrechner scheint anders zu sein.. :-)

Fazit:
Darauf kann also geschlossen werden, unter der Voraussetzung, dass beide Funktionen

(f

und

g)

in diesem Punkt stetig sind..

Vielen Dank für den schönen Beweis.. Wir hatten vor einiger Zeit den Mittelwertsatz in der Vorlesung und das ist eine tolle Anwendung davon..

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