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einseitige Ableitungen

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Differentiation

Funktionen

Grenzwerte

Tags: Differentiation, Funktion, Grenzwert

MathsTom aktiv_icon

17:07 Uhr, 29.03.2014

Hallo :-)
Eine Funktion

f

sei auf

[a, b]

gegeben und in

(a, b)

diff'bar. Ist die linksseitige Ableitung von

f (x)

das gleiche wie der linksseitige Grenzwert von

f' (x)

?

Die Frage stellt sich mir aus folgendem Grunde: Im Rahmen der Fragen um "Stetigkeit der Ableitung" haben wir festgestellt, dass eine Ableitung keine einfache Unstetigkeitsstelle aufweisen kann.

D . h

f' (x +) = f' (x -)

. Das kann man aus dem Satz von Darboux folgern.

Mir stellt sich aber nun die Frage, ob

f' (x +) = f' (x -) \neq f' (x)

sein kann.

Was meint ihr dazu?
Vielen Dank und liebe Grüße,
Tom

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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Shipwater aktiv_icon

17:42 Uhr, 29.03.2014

Nimm

f (x) = x^{2} cos (\frac{1}{x})

für

x \neq 0

und

f (0) = 0

. Dann ist

f

bei 0 differenzierbar (also insbesondere linksseitig differenzierbar) mit

f' (0) = 0

aber wegen

f' (x) = 2 x cos (\frac{1}{x}) + sin (\frac{1}{x})

für

x \neq 0

existiert

lim_{x \to 0^{-}} f' (x)

nicht. Deine erste Frage kann also mit "nein" beantwortet werden.
Und

f' (x +) = f' (x -) \neq f' (x)

ist doch wieder ein Widerspruch zur Zwischenwerteigenschaft der Ableitung.

MathsTom aktiv_icon

18:37 Uhr, 29.03.2014

Ja, da siehst du richtig.
Wir hatten:

lim_{t \to x} f (t) = a

existiert

\Leftrightarrow lim_{t \to x -} f (t) = lim_{t \to x +} f (t)

. Wenn das gilt, dann ist auch

lim_{t \to x -} f (t) = lim_{t \to x +} f (t) = a

.

Aber wie und das hier hilft, ist mir nicht klar.
Also Wenn

lim_{t \to x -} f' (t) = lim_{t \to x +} f' (t) = b,

dann gilt auch

b = lim_{t \to x} f' (t)

. Aber wieso soll das

f' (x)

sein?

Shipwater aktiv_icon

18:39 Uhr, 29.03.2014

Eventuell hast du nicht mitbekommen, dass ich nochmal editiert habe (ist aber schon länger her). Hatte deine Schreibweise

f' (x +)

zuerst falsch interpretiert, denn die kannte ich davor noch nicht. Der springende Punkt ist also, dass

f' (x +) = f' (x -) \neq f' (x)

dem Satz von Darboux widerspricht.

MathsTom aktiv_icon

19:19 Uhr, 29.03.2014

Habe ich nicht mitbekommen, ja.
Aber wo ist der Widerspruch?

Shipwater aktiv_icon

19:28 Uhr, 29.03.2014

Ich finde das eigentlich klar, mach dir doch einfach eine Skizze. Oder willst du dir das mathematisch exakt überlegen, da muss man dann halt mit

δ

und

ε' s

spielen, könnte etwas hässlich werden, aber sollte zu schaffen sein.

MathsTom aktiv_icon

21:18 Uhr, 29.03.2014

Mh, es geht schon um eine exakte Begründung.

Shipwater aktiv_icon

21:54 Uhr, 29.03.2014

Keine Idee wie du anfangen kannst? Klar ist, dass die Stelle

x_{0}

mit

f' (x_{0}) \neq lim_{x \to x_{0}} f' (x)

die Zwischenwerteigenschaft zerstört. Du kannst oBdA

f' (x_{0}) > lim_{x \to x_{0}} f' (x)

annehmen und dann

ε := \frac{f' (x_{0}) - lim_{x \to x_{0}} f' (x)}{2}

definieren. Jetzt

ε - δ

Kriterium und dann überlege mal weiter.

MathsTom aktiv_icon

23:36 Uhr, 29.03.2014

Zu diesem

ε

gibt es dann ein

δ,

sodass für alle

x \in [a, b]

mit

0 < | x - x_{0} | < δ

stets

| f' (x) - q | < ε

gilt, wobei

q = lim_{x \to x_{0}} f' (x)

.

Betrachte

[x_{0}, min {x_{0} + δ, b}] = I,

dann ist

f

auf I diff'bar. Der Bildbereich dieser Menge unter

f'

ist dann enthalten in

[q - ε, f' (x_{0})]

. Für

λ \in (q + ε, f' (x_{0}))

gibt es dann kein

x \in I

mit

f' (x) = λ,

im Widerspruch zum Satz von Darboux.

Bitte werfe mal einen Blick auf die ganzen Intervalle. Stimmt das so?

Shipwater aktiv_icon

00:25 Uhr, 30.03.2014

Idee ist auf jeden Fall die richtige. Du hattest aber ursprünglich nur Diffbarkeit in

(a, b)

vorausgesetzt also solltest du dann auch mit offenen Intervallen arbeiten.

MathsTom aktiv_icon

18:41 Uhr, 31.03.2014

Danke :-)

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