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extremwertproblem geometrische aufgaben
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: möglichst große, Rechteckige Fensterscheibe, Winkel
 
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Aus einer rechteckigen Fensterscheibe mit den Seitenlängen a und ist vom Mittelpunkt der kleineren Seite eine Ecke mit dem Winkel von 45° herausgebrochen. Aus der restlichen Scheibe soll durch Schnitte parallel zu den ursprünglichen Seiten eine möglichst große Scheibe hergestellt werden. Wie lauten die neuen Maße, der Scheibe? Das ist meine Aufgabe und ich weiß das die Hauptbedingund ist aber weiß nicht wie ich auf die Nebenbedingung kommen soll. Was mach ich mit den 45° |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Sinus und Kosinus für beliebige Winkel Winkel - Einführung Winkelberechnungen |
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45° bedeutet, dass die Steigung der Gerade ist. |
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okay aber ich kann mir trotzdem nicht bildlich vorstellen wie die scheibe aussehen soll. und weiß nicht wie ich die NB aufstellen soll |
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Schau dir mal die angehängte Skizze an. Die Hauptbedingung lautet nicht (das sind ja die konstanten Seitenlängen der gegebenen Fensterscheibe), sondern ? Die Nebenbedingung ergibt sich . aus der oben links erkennbaren Strahlensatzfigur. Durch den Grad Winkel ergibt sich automatisch ein gleichschenkliges Dreieck, warum ?  |
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Demnach müsste HB also sein und NB sein aber versteh trotzdem nicht warum durch die 45° ein gleichschenkliges dreieck entsteht |
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HB stimmt, NB leider nicht. Nutze aus, dass die beiden Dreiecke oben links ähnlich sind, wodurch auch ihre Kathetenverhältnisse gleich sind. Gleichschenklig ist das Dreieck, weil es auf jeden Fall einen rechten Winkel und dann ja noch den Grad Winkel hat. Damit muss der verbleibende Winkel also wie groß sein ? |
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das ist mir peinlich aber ich bin total überfordert...keine ahnung wo ich anfangen soll |
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Da brauch dir nichts peinlich sein :-) Fangen wir doch mal mit den beiden rechtwinkligen Dreiecken oben links an, erkennst du sie ? Katheten nennt man die Seiten, die den rechten Winkel einschließen, die Längen habe ich (bis auf eine) bereits dran geschrieben. Weil die beiden Dreiecke ähnlich sind darf man entsprechende Seitenverhältnisse dann gleich setzen. Ein Verhältnis ist einfach nur ein Quotinent, also ein Bruch. |
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die beiden dreiecke hab ich erkannt |
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Auch die Kathetenlängen ? |
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aber wie soll ich den strahlensatz einsetzen |
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ja die vom großen schon und bei dem kleine nur eine |
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ist die andere |
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Die andere ist dann einfach nur also Damit hast du dann eigentlich alle Größen. Dann versuch doch mal den 2. STrahlensatz anzuwenden: Kurze Parallele : Lange Parallele = Kurzer Strahlenabschnitt : Langer Strahlenabschnitt |
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das wär also |
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Fast, du musst immer im Scheitel anfangen, deswegen statt dann |
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oh stimmt das war jetzt total dumm von mir okay dann hab ich ja jetzt HB und NB |
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So ist es. Die NB kannst du dann . nach auflösen und dann in die HB einsetzen. |
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ich hab jetzt für raus raus ist das richtig? |
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Ja, sieht gut aus. |
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SO DAN HAB ICH FÜR und was folgt jetzt |
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sry für meine katastrophale rechtschreibung hehe tippe manchmal zu schnell |
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Lässt sich einfach vermeiden indem du nicht direkt auf "senden" klickst sondern nochmal kurz liest was du da in Windeseile geschrieben hast ;-) Ja ansonsten wie immer vorgehen wenn du Extrempunkte bestimmen willst. |
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ja aber hab ja mehrere variabeln, muss ich nur das betrachten? Dann habn ich für raus |
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und für |
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Da keine konkreten Werte für a und gegeben sind wird dein auch von a und abhängen. |
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das heißt |
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Genau. |
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okay ich danke dir vielmals |
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Denk aber auch an die Randwerte (siehe Definitionsbereich für |
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wie?was muss ich denn noch mit dem machen |
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Normalerweise muss man sich immer noch um die Randwerte des Definitionsbereichs kümmern, da im allgemeinen in der durch null setzen der 1. Ableitung gefundenen Stelle nicht immer gleichzeitig auch das ABSOULTE Maximum (oder Minumum) liegen muss. Für den Definitionsbereich für kann man sich überlegen, dass mindestens die Länge und höchstens die Länge a haben kann (siehe Skizze). Damit wären dann noch die Funktionswerte und zu prüfen. Jedoch kann man hier auch noch damit argumentieren, dass die Zielfunktion ja eine quadratische Funktion ist und das Schaubild wegen -x² auch eine nach unten geöffnete Parabel darstellt. Somit muss in diesem Fall also das relative Maximum auch gleichzeitig das absolute Maximum sein. |
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wir hatten mal die selbe Aufgabe und die haben wir so gemacht :
1.A=(b-x)(a-y) 2.y=-x+ soo jetzt für y eingesetzt .. A= (b-x)(a-(-x+)) ausklammern usw .. A=b+(b-)x-
so jetz die Ableitung bilden.
jetzt gleich 0 setzten und nach x auflösen x=
Fertig :) |
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wie bist du denn auf das gekommen |
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also die nebenbedingung y=mx + b
so das -x ist die steigung der Geradengleichung und b ist a/2 weil die Gerade die y-Achse in diesem Punkt schneidet , schau dir noch mal die skizze an , dann wir dir das sofort klar :) |
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ah okay habs verstanden danke:-) |
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Bitte ;) |
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