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f(x) = x^3 auf Riemann-Integrierbarkeit untersuche

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Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Integration, Riemannsches Integrabilitätskriterium, Sonstig, Stetigkeit

 
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Phil0592

Phil0592 aktiv_icon

16:20 Uhr, 27.07.2018

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Hallo!

Wir nehmen seit Kurzem das Thema "Integralrechnung" durch (Ja, wir sind ziemlich spät dran).

Beim Bearbeiten des Übungsblatts hänge ich mehr oder weniger bei der 1. Aufgabe fest.


Diese lautet:


Sei die Funktion f:[0,1]→ℝ mit f(x):=x3 gegeben.

a.) Benutzen Sie das Riemannsche Integrabilitätskriterium. um zu zeigen, dass f auf [0,1] integrierbar ist.


a) benutzen Sie das Riemannsche Folgenkriterium, um den Wert ∫01x3dx zu bestimmen.





Mein Ansatz zu a)
_____________


Ich weiß ja, dass x3 streng monoton steigend und somit nicht konstant ist. Insbesondere gilt f(b)>f(a). Außerdem ist f beschränkt, f(0)≤f(x)≤f(1)∀x∈[0,1].

Nun müssen wir eine äquidistante Zerlegung zn:=1n in Abhängigkeit von Epsilon finden, so dass das Integrabilitätskriterium erfüllt ist.


Da f streng monoton wachsend ist, ist


supremum {f(x)|x∈[xi-1,xi]}=f(xi)}

und infimum {f(x)|x∈[xi-1,xi]}=f(xi-1)}



Für die Ober-und Obersumme von f bezüglich Z erhalten wir:


OS(f,Z) - US(f,Z) =∑i=1n(xi-xi-1)⋅f(xi)-∑i=1n(xi-xi-1)⋅f(xi-1)

=∑i=1n(xi-xi-1)⋅(f(xi)-f(xi-1))=∑i=1n1-0n⋅(f(xi)-f(xi-1))

=∑i=1n1n⋅(f(xi)-f(xi-1))=1n⋅∑i=1n(f(xi)-f(xi-1))

=1n⋅(f(xn)-f(x0))<ε





NR: 1n⋅(f(xn)-f(x0))<ε        |:(f(xn)-f(x0))
⇔1n<ε(f(xn)-f(x0))        |⋅n
⇔1<ε(f(xn)-f(x0))⋅n        |⋅f(xn)-f(x0)ε


⇔f(xn)-f(x0)ε<n





Ist das bis jetzt so richtig? Falls ja, wie kann ich die b) lösen? Ich habe das Riemannsche Folgenkriterium nicht verstanden... Ein Beispiel dazu habe ich bi her auch nicht gefunden..

Kann mir da einer helfen?


Liebe Grüße


Φl

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:43 Uhr, 27.07.2018

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Hallo,

das ist soweit in Ordnung. Gegen Ende solltest Du konkret verwenden f(xn)-f(x0)=1-0=1.

Zur Berechnung des Integrals brauchst Du jetzt nur noch zum Beispiel den Grenzwert von U(f,Zn)
(oder O(f,Zn)) berechnen. Dazu musst Du dann konkret f(xi)=(in)3 in die Summe einsetzen. Dann musst Du die Summenformel für ∑i3 nachschlagen ....

Gruß pwm
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