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gleichmäßige Konvergenz Funktionenreihen

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Tags: Folgen, Funktion, Funktionenfolgen, Funktionenreihen, gleichmäßige Konvberenz, Grenzwert, Reihen

pakaKoni aktiv_icon

12:10 Uhr, 10.01.2010

Hallo

Ich hab die Reihe

\sum (- 1)^{k} (x - 1)^{k}

Jetzt soll gezeigt werden, das diese auf [1,2) gleichmäßig konvergiert, auf (0,1) aber nur punktweise.
Punktweise Konvergenz war kein Problem.
Zur gleichmäßigen gabs den Tip, diese auf den Intervallen

[1, 2 - δ], δ \in (0, 1)

zu zeigen. Daraus würde die gleichmäßige Konvergenz auf [1,2) folgen.

Zum Beweis der gleichmäßigen Konvergenz wollte ich folgenden Satz benutzen:
Für

f_{n} : M \to ℂ

eine folge von Funktionen, mit

\sum ∥ f_{n} ∥

konvergiert, dann Konvergiert die Reihe

\sum f_{n}

gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion.

Dabei sei

∥ - ∥

die Supremumsnorm.

Anwenden auf

[1, 2 - δ)

.
Nun ist für

x \in [1, 2 - δ], ∣ x - 1 ∣ \leq 1 - δ < 1 \Rightarrow \sum ∥ f_{n} ∥ = \sum_{k = 2}^{\infty} (1 - δ)^{k}

und die geometrische Reihe Konvergiert.
Also hat man gleichmäßige Konvergenz auf

[1, 2 - δ)

Wieso folgt nun gleichmäßige Konvergenz auf ganz [1,2), und wieso kann ich nicht einfach

[0 + δ, 1)

betrachten, und genauso für (0,1) schließen.

Ich hab doch beide Male die gleiche Situation:
Es ist:

s u p ∣ x - 1 ∣ = 1

für

x \in (0, 1)

, also ist auf (0,1):

\sum ∥ f_{n} ∥ = \sum 1

, und das konvergiert nicht.
Das gleiche hat man aber bei [1,2):

s u p ∣ x - 1 ∣ = 2 - 1 = 1

wieder divergent?

Schon mal danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
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hagman aktiv_icon

23:27 Uhr, 10.01.2010

\sum {(- 1)}^{k} (x - 1) k

konvergiert aber genau bei

x = 1

pakaKoni aktiv_icon

12:21 Uhr, 11.01.2010

Hallo Hagman

Ich hatte da nen Schreibfehler. Es muss heißen:

\ s u m {(- 1)^k (x - 1)^k

Das k steht im Exponenten, und ist kein Faktor.
Ist jetzt korrigiert.

Meine Frage bezog sich ja auch auf die gleichmäßige Konvergenz, bzw auf den Trick mit den

\ d e l t a

's , mit dem das gezeigt werden soll.

Das die Reihe punktweise auf (0,2) konvergiert ist klar.

LG

hagman aktiv_icon

17:22 Uhr, 11.01.2010

Gleichmäßige Konvergenz ist Konvegenz bezüglich der Supremumsnorm.
Leider gilt

s u p_{x \in [1,2)} | f_{k + 1} (x) - f_{k} (x) | = 1,

so dass gewiss keine gleichmäßige Konvergenz auf

[1,2)

vorliegt.

pakaKoni aktiv_icon

22:26 Uhr, 11.01.2010

Hallo

Das hätte ich ja auch gesagt, aber ich bin da auf eine Frage gestoßen, bei der man gleichmäßige Konvergenz genau so zeigen sollte.
Ich hab das ganze von hier: www.onlinemathe.de/forum/Taylorpolynome-3-1

Chiao

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