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je 2 Punkte inzidieren mit genau 1 Geraden
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Beweis, Geometrei
 
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Aufgabe: Begründe, dass es im Poincaré-Modell zu 2 beliebigen Punkten und genau 1 Gerade gibt, die mit und inzidiert. Nach Def. . Poincare-Modell wähle ich folgende Bezeichnungen: N-Punkte sind nichteuklidische Punkte N-Geraden sind nichteuklidische Geraden,- Typ 1: euklidische Halbkreise, Typ 2: euklidische Halbgeraden Beweis: Falls 2 N-Punkte und nicht auf einer euklid. Geraden liegen, die zu senkrecht ist, betrachten wir den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der (euklid.) Strecke PQ mit der Randgeraden . Das Dreieck MPQ ist gleichschenklig, es gilt also IMPI = IMQI. Die Punkte und liegen somit auf einem Kreis um gehören also einer N-Geraden von Typ 1 an. Falls 2 Punkte auf einer zu senkrechten Geraden liegen, folgt nach der Definition des Poincare-Modells, dass sie einer N-Geraden von Typ 2 angehören. Die Existenz einer N-Geraden durch 2 beliebige Punkte ist somit gesichert. Falls 2 Punkte und auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt liegen, ist das Dreieck MPQ gleichschenklig und die Mittelsenkrechte der Seite PQ verläuft daher durch den Punkt M. Steht die (euklid.) Gerade PQ senkrecht auf hat diese Mittelsenkrechte keinen Schnittpunkt mit . Es existiert also eine N-Gerade vom Typ die und enthält und wegen der Gültigkeit von Inzidenzaxiom in der euklidischen Geometrie genau 1 N-Gerade vom Typ die diese Bedingung erfüllt. Steht PQ nicht senkrecht auf gehören und keiner N-Geraden vom Typ 2 an und es existiert genau 1 Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von PQ mit und daher nur eine N-Gerade vom Typ der und angehören. Somit ist auch die Eindeutigkeit der Zuordnung einer N-Geraden zu 2 N-Punkten gegeben. Ist der Beweis richtig oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Hallo, vielleicht bringt dir das ja etwas: http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/lectures/geo/geo2_35.pdf S.167/168 Gruß ermanus |
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Danke schonmal. Ich weiss nur leider nicht, was ein Automorphismus ist und kann einige Symbole nicht deuten Was ist ∂D? |
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Das ist der Rand der Kreisscheibe, also dein . Um den Automorphismus musst du dich nicht kümmern. Weiter unten im Text wird eine direkte geometrische Konstruktion angegeben. |
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Die Konstruktion macht Sinn. Dann übernehme ich den Text so. Danke! |
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Ich glaube, ich habe immernoch ein kleines Problem: Ist die Aussage gezeigt, wenn ich einfach eine Konstruktion dazu angebe? |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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