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konvexe Analysis - Epigraf

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Epigraf, konvexe Analysis

Sabine2 aktiv_icon

18:16 Uhr, 03.10.2013

Hi,
ich soll zeigen, dass eine Funktion

f : ℝ \to \bar{ℝ} = ℝ \cap {\infty}

genau dann konvex ist, wenn der Epigraph epi(f) konvex ist.

"=>":

f

konvex

\Rightarrow f (λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y) \leq f (x) + (1 - λ) \cdot f (y)

für

x, y \in ℝ, λ \in (0,1)

Wie könnte man hier weitermachen?
Eine konvexe Funktion ist ja anschaulich eine Funktion, bei der die Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf dem Graphen die stets über oder auf dem Graphen liegt.

Wieso erfüllt

f (λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y) \leq f (x) + (1 - λ) \cdot f (y)

diese Bedingung?
Das Argument im linken Teil der Ungleichung ist ein Wert zwischen

x

und

y,

λ \in (0,1),

soviel ist mir klar.

Danke und liebe Grüße
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Apfelkonsument aktiv_icon

19:37 Uhr, 03.10.2013

Hallo,

Zunächst einmal: Natürlich gilt

\bar{ℝ} := ℝ \cup {\infty}

. Aber das ist wohl nur ein Schreibfehler.

Nun zur eigentlichen Aufgabe:
Versuche nicht, einfach wild aus der Voraussetzung drauf los zu folgern. Überlege dir erstmal, was du eigentlich zeigen möchtest. Du willst zeigen, dass der Epigraph von f konvex ist. Wie macht man das? Man nimmt sich

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in e p i (f)

und

λ \in (0, 1)

und zeigt, dass

λ (x_{1}, y_{1}) + (1 - λ) (x_{2}, y_{2}) = (λ x_{1} + (1 - λ) x_{2}, λ y_{1} + (1 - λ) y_{2}) \in e p i (f)

gilt. Was wiederum musst du dafür zeigen? Hier einfach die Definition des Epigraphs überprüfen.

Kommst du damit erstmal weiter?

Sabine2 aktiv_icon

19:51 Uhr, 03.10.2013

Okay, dafür muss man zeigen, dass

λ \cdot y_{1} + (1 - λ) \cdot y_{2} \geq f (λ \cdot x_{1} + (1 - λ) \cdot x_{2})

.

Aber wie man das macht, weiß ich nicht.

Apfelkonsument aktiv_icon

19:53 Uhr, 03.10.2013

Auf

f (λ \cdot x_{1} + (1 - λ) \cdot x_{2})

kannst du die Konvexität von

f

anwenden. Sowas müsstest du eigentlich selbst sehen. Sonst sehe ich etwas schwarz für den Rest der Aufgabe.

Sabine2 aktiv_icon

20:08 Uhr, 03.10.2013

Stimmt, ich dachte, das darf ich nicht, weil ich ja zeigen will, dass

f

konvex ist. Aber wir sind ja bei der anderen Richtung.

Also

f (λ \cdot x_{1} + (1 - λ) \cdot x_{2}) \leq f (x_{1}) + (1 - λ) \cdot f (x_{2}) = y_{1} + (1 - λ) \cdot y_{2}

.
Jetzt fehlt mir aber noch ein

λ

vor dem

y_{1}

Apfelkonsument aktiv_icon

20:17 Uhr, 03.10.2013

So stimmt das leider nicht. Erstens hast du das

λ

vor

f (x_{1})

vergessen(sieh dir die Definition von Konvexität an). Zweitens: Woher nimmst du, dass

f (x_{1}) = y_{1}

und

f (x_{2}) = y_{2}

(x_{1}, y_{1})

liegt im Epigraph von

f

, nicht unbedingt im Graph von

f

. Das musst du hier noch einbauen.

Sabine2 aktiv_icon

20:40 Uhr, 03.10.2013

In meiner Definition steht

f (λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y) \leq f (x) + (1 - λ) \cdot f (y)

.
Es muss

f (λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y) \leq λ \cdot f (x) + (1 - λ) \cdot f (y)

heißen? Dann verstehe ich auch, wie man zu der graphischen Interpreatation kommt.

Also dann:

f (λ \cdot x_{1} + (1 - λ) \cdot x_{2}) \leq λ \cdot f (x_{1}) + (1 - λ) \cdot f (x_{2})

Jetzt ist

f (x_{1}) \leq y_{1}

und

f (x_{2}) \leq y_{2}

.
Daraus folgt dann:

λ \cdot f (x_{1}) + (1 - λ) \cdot f (x_{2}) \leq λ \cdot y_{1} + (1 - λ) \cdot y_{2}

. Da hat mans.

Für die andere Richtung muss ich mir ein

x, y \in ℝ, λ \in (0,1)

nehmen und zeigen, dass

f (λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y) \leq λ \cdot f (x) + (1 - λ) \cdot f (y)

ist, wenn der Epigraph von

f

konvex ist?

Apfelkonsument aktiv_icon

20:44 Uhr, 03.10.2013

"Es muss

f (λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y) \leq λ \cdot f (x) + (1 - λ) \cdot f (y)

heißen?"
Yep!

"Da hat mans." Sehr schön.

Deine Überlegungen für die andere Richtung stimmen auch. Wenn es hakt, melde dich wieder ;-)

Sabine2 aktiv_icon

20:59 Uhr, 03.10.2013

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wo/wie ich anfangen soll.

Apfelkonsument aktiv_icon

21:01 Uhr, 03.10.2013

(x, f (x))

und

(y, f (y))

liegen ja im Epigraph, welcher konvex ist. Also...

Sabine2 aktiv_icon

21:11 Uhr, 03.10.2013

Nur zum Verständnis: Die liegen auf dem Graphen (was ja auch der Epigraf ist), oder?

Also liegt auch

λ \cdot (x, f (x)) + (1 - λ) \cdot (y, f (y)) = (λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y, λ \cdot f (x) + (1 - λ) \cdot f (y))

im Epigraph.
Es ist also

f (λ \cdot x + (1 - λ) \cdot y) \leq λ \cdot f (x) + (1 - λ) \cdot f (y),

womit

f

konvex ist.

Apfelkonsument aktiv_icon

21:17 Uhr, 03.10.2013

"Nur zum Verständnis: Die liegen auf dem Graphen (was ja auch der Epigraf ist), oder?"

Falls du meinst, dass der Graph im Epigraph enthalten ist, dann ja. Das ist richtig.

Der Rest stimmt auch. Super !

Sabine2 aktiv_icon

21:25 Uhr, 03.10.2013

Ich meinte die von dir ausgezählten Elemente von

ℝ^{2}

(x, f (x))

und

(y, f (y))

.

Kannst du mir nochmal kurz verraten, wieso

f' (y) (x - y) = lim_{λ \to 0} \frac{f (y + λ (x - y)) - f (y)}{λ} \leq f (x) - f (y)

ist? Mir ist das

\leq

nicht klar. Ich weiß, dass

f

konvex ist.

Apfelkonsument aktiv_icon

22:05 Uhr, 03.10.2013

Wir sind hier jetzt nicht mehr bei einer Funktion von

ℝ

nach

\bar{ℝ}

oder?

Wenn du vorraussetzen kannst, dass

f

y

in Richtung

x - y

Gâteaux-differenzierbar ist, also links- und rechtsseitige Gâteuxableitung übereinstimmen, dann kannst du das Teil für

λ \to 0^{+}

berechnen. Dann gilt für

λ

genügend klein:

\frac{f (y + λ (x - y)) - f (y)}{λ} = \frac{f (λ x + (1 - λ) y)) - f (y)}{λ} \leq \frac{λ f (x) + (1 - λ) f (y) - f (y)}{λ} = f (x) - f (y)

Sabine2 aktiv_icon

22:35 Uhr, 03.10.2013

Danke! :-)

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