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lim x->1 [ (x^m - 1) / (x^n - 1) ]

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Tags: Funktion, Grenzwert

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Astralsocke

Astralsocke aktiv_icon

20:39 Uhr, 28.04.2018

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Hallo!

Ich will diesen Grenzwert herausfinden:

lim_{x \to 1} \frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1}

Ich glaube, das ist

\frac{m}{n}

. Das würde ich gerne beweisen ohne auf Differenzialrechnung zurückzugreifen.
Meine Ansatz:

lim_{x \to 1} \frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1} - \frac{m}{n} = 0

und jetzt könnte man das vielleicht mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes so umzuformen, dass

(x - 1)

Mal irgendwas, das bei x=1 einen Wert annimmt, herauskommt.
Für den Fall

m = 3

,

n = 1

geht das, das habe ich gesehen. Nur lässt sich das schwer übertragen.

Viele Grüße
Astralsocke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
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Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

20:51 Uhr, 28.04.2018

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Ohne Differentialrechnung weiß ich es nicht.

Mit l´ Hospital:

lim_{x \to 1} \frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1} \to lim_{x \to 1} \frac{m \cdot x^{m - 1}}{n \cdot x^{n - 1}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{m \cdot x^{m}}{x}}{\frac{n \cdot x^{n}}{x}} = lim_{x \to 1} \frac{m \cdot x^{m}}{n \cdot x^{n}} \to \frac{m}{n}

mfG

Atlantik

Astralsocke

Astralsocke aktiv_icon

21:15 Uhr, 28.04.2018

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Danke, aber es muss irgendwie ohne gehen.

Antwort

anonymous

anonymous

21:18 Uhr, 28.04.2018

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Ohne Differenzalrechnung kommst du ans Ziel, indem du substituierst:

x = 1 + y

und die binomische Reihenentwicklung nutzt:

{(a + b)}^{m} = a^{m} + (\begin{matrix} m \\ 1 \end{matrix}) \cdot a^{m - 1} \cdot b^{1} + (\begin{matrix} m \\ 2 \end{matrix}) \cdot a^{m - 2} \cdot b^{2} + . .

.

Antwort

abakus

21:20 Uhr, 28.04.2018

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Hallo,
ist dir die Summenformel der geometrischen Reihe geläufig?
Es gilt

1 + x + x ² + . . . + x^{n - 1} = \frac{x^{n} - 1}{x - 1}

und somit

(x - 1) (1 + x + x ² + . . . + x^{n - 1}) = x^{n} - 1

.
Der Quotient

\frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1}

ist also (nach dem Kürzen von (x-1)

\frac{1 + x + x ² + . . . + x^{m - 1}}{1 + x + x ² + . . . + x^{n - 1}} .

Jetzt lasse x gegen 1 gehen und zähle die Summenden im Zähler und im Nenner.

Frage beantwortet

Astralsocke

Astralsocke aktiv_icon

23:01 Uhr, 28.04.2018

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Das funktioniert beides sehr gut, danke!

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