Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » n-te Partialsumme bestimmen

n-te Partialsumme bestimmen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Partialsumme

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
giney1

giney1 aktiv_icon

11:29 Uhr, 25.02.2015

Antworten
Hallo Leute!

Ich hab hier ein Bsp, ich soll die n-te Partialsumme von
\sum (n=0 bis \infty ) \frac{1}{(k-3)*(k-2)}
berechnen.
Das mit der PBZ ist auch alles klar und ich hab auch schon die die ersten Partialsummen ausgerechnet:
s1: 1/6
s2: 1/4
s3: 3/10
s4: 1/3
S5: 5/14
s6: 3/8
s7: 7/148
s8: 2/5
s9: 9/22.....

Aber egal wie ich die Brüche auch umschreibe, ich komme leider auf keine Regelmäßigkeit um die n-te Partialsumme auszudrücken.

Bitte um Hilfe, Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

11:47 Uhr, 25.02.2015

Antworten

Hallo
es ist nicht sinnvoll die Partialsummen aufzuaddieren dazu hattest du ja nicht die Zerlegung gemacht, die du hast? schreib die doch mal hin und dann ohne zusammenzufassen die paar ersten Glieder.
da da abwechselnd -1k-2 und 1k-3 vorkommt muss sich ja was wegheben, das ist der Sinn der PBZ
hallo
du hast auch deine Aufgabe falsch aufgeschrieben, du hast doch wohle eine summe von k=4 an und nicht von 0 an . und über k und nicht über n
du scheinst bei k=0 anzufangen, sonst verstehe ich dein s1=1)6 nicht, aber was ist dann mit k=2 und k=3 und 0 im Nenner?
Gruß ledum
Antwort
Bummerang

Bummerang

12:14 Uhr, 25.02.2015

Antworten
Hallo,

"du scheinst bei k=0 anzufangen, sonst verstehe ich dein s1=1)6 nicht, aber was ist dann mit k=2 und k=3 und 0 im Nenner?

Wenn ich mit k=5 anfange, errechne ich 1(5-3)(5-2)=123=16=s1. Wenn ich mit k=6 weiter mache bekomme ich 16+1(6-3)(6-2)=16+134=212+112=312=14=s2. Und wenn ich dann mit k=7 weiter mache: 14+1(7-3)(7-2)=14+145=520+120=220=310=s3...

Ich würde fast wetten, der Rest der sn passt dazu, dass man mit k=5 angefangen hat. Schließlich ist 16 nicht nur 1(-3)(-2) sondern auch 123, worauf man hätte kommen können (oder sogar sollen), wenn man schon herausgefunden hat, dass die Summe mindestens bei k=4 beginnen muss. Und damit erübrigt sich die Frage nach k=2 und k=3...

Als Vorschlag für eine Lösung würde ich mich zunächst mal von unnötigem Ballast befreien und eine Indexverschiebung durchführen, so dass in der Summe 1k(k+1) stehen bleibt.
giney1

giney1 aktiv_icon

12:40 Uhr, 25.02.2015

Antworten
Danke für die schnelle Antworten! Es geht natürlich von k=0 weg, entschuldige, da hab ich aus Versehen n geschrieben.

Ich bin davon ausgegangen dass ich die Summen der ersten k Reihenglieder ausrechnen muss um auf die Partialsumme kn zu kommen?

Aber das mit dem Index ändern klingt gut, werde mich da mal dran setzen.

Bei meinem Anhang steht auch überall n, da gehört natürlich auch ein k überall.

Danke für eure Hilfe!

Antwort
Bummerang

Bummerang

12:48 Uhr, 25.02.2015

Antworten
Hallo,

"Es geht natürlich von k=0 weg"

Dann sind die Partialsummen schnell berechnet:

k=001(k-3)(k-2)=1(0-3)(0-2)=1(-3)(-2)=16

k=011(k-3)(k-2)=k=001(k-3)(k-2)+1(1-3)(1-2)=16+1(-2)(-1)=16+12=16+36=46=23

Das ist aber ungleich Deiner zweiten Partialsumme!!!

k=021(k-3)(k-2)=k=011(k-3)(k-2)+1(2-3)(2-2)=16+1(-1)0=23+n.D. =n.D.

Ab n=2 sind keine Partialsummen mehr definiert!!!

Bist Du sicher, dass Du auch alles, was vor Deinem letzten Post geschrieben wurde gelesen und verstanden hast? Wenn ja, warum kommst Du dann mit so einer Antwort?
giney1

giney1 aktiv_icon

14:21 Uhr, 25.02.2015

Antworten
Ich dachte eigentlich schon verstanden zu haben was du meinst. Aber warum hast du jetzt (k-3)* (k-2) ?



Nach der PBZ hab ich ja : $\sum$ (k=0 bis n) von 1* $\frac{1}{k+2}$ - 1* $\frac{1}{k+3} $

Oder stimmt das schon nicht?



Könnt ihr das Bild sehen was ich versuche mitzuschicken?
Antwort
Bummerang

Bummerang

14:41 Uhr, 25.02.2015

Antworten
Hallo,

"Ich dachte eigentlich schon verstanden zu haben was du meinst."

Ich schrieb: "... dass die Summe mindestens bei k=4 beginnen muss."

Du schreibst: "Es geht natürlich von k=0 weg, ..."

Was an "mindestens bei k= 4" hast Du nicht verstanden?

Nach der PBZ hab ich ja : $\sum$ (k=0 bis n) von 1 $\frac{1}{k+2}$ -1 $\frac{1}{k+3} $

Bei der PBZ erhält man Brüche, die die Nullstellen des Nenners als Nenner haben. Die Nullstellen des Nenners (k-3)(k-2) sind (k-3) und (k-2). Da kann 1k+2-1k+3 schon wegen der falschen Nenner nicht stimmen!

Gehen wir doch mal das Ganze von Anfang an durch:

1) Im Anfang war die Summenformel, wie sie vorgegeben ist! Bitte diese Summe in korrekter Form was die Bezeichnungen der Variablen und was den Startwert angeht hier angeben!

2) Dann folgte als Vorschlag von mir, zunächst eine Indexverschiebung durchzuführen, so dass 1k(k+1) in der Summe stehen bleibt! Bitte diese indexverschobene Summe hier angeben!

3) Dann sollte man die PBZ machen. Bitte diese PBZ-zerlegten Summanden hier angeben!

Wäre schön, wenn man am Ende auch Deine Antworten den entsprechenden Aufforderungen zuordnen könnte, z.B. durch ein 1),2) und 3) davor!
giney1

giney1 aktiv_icon

16:50 Uhr, 25.02.2015

Antworten
Leute, es tut mir so Leid, ich habe mich bei der Angabe vertan =(

Nochmal richtig jetzt;

1.)

Angabe:
Berechnen Sie die n-te Partialsumme und den Wert der unendlichen Reihe

(von k=0 bis ) 1(k+2)(k+3)

3.)

1(k+2)(k+3) = Ak+2 + Bk+3

1 = A*(k+3) + B*(k+2)

1= A*k + 3A + Bk + 2B
--> A= -B

1= -3B+2B
1=-B

-->B= -1;
-->A= +1;

Also 1(k+2)(k+3) = 1k+2 + -1k+3

Um auf die n-te Partialsumme zu kommen:

(von k=0 bis n ) 1k+2 + -1k+3

= (12 - 13) + ( 13 - 14) + (14 - 15) + ( 15 - 16) +......

= 16 + 112 + 120 + 130+...

Und somit habe ich:

s1= 16
s2 = 16 + 112 = 14
s3 = 14 + 120 = 620 = 310
s4 = 310 + 130 = 1030 = 13
Das habe ich weitergeführt bis s9:
s5 = 13 + 142 = 514
s6= 514 + 156 = 38
s7= 38 + 172 = 718
s8 = 718 + 190 = 25
s9 = 25 + 1110 = 922....

sn=?

Stimmt das soweit?

Das mit der Indexverschiebung habe ich probiert, da komm ich dann aber auf gar keinen grünen Zweig mehr, das hab ich wohl nicht verstanden.

Danke!
Antwort
Bummerang

Bummerang

17:13 Uhr, 25.02.2015

Antworten
Hallo,

soweit richtig, nur dass man statt 1k+2+-1k+3 schreiben würde 1k+2-1k+3.

Deine Berechnung der summen ist eine schöne Fleißarbeit, einfacher geht es so:

s0=k=00(1k+2-1k+3)=(10+2-10+3)=12-13=16

s1=k=01(1k+2-1k+3)=k=00(1k+2-1k+3)+(11+2-11+3)=(12-13)+(13-14)=12-13+13-14=12-14=14

s2=k=02(1k+2-1k+3)=k=01(1k+2-1k+3)+(12+2-12+3)=(12-14)+(14-15)=12-14+14-15=12-15=310

s3=k=03(1k+2-1k+3)=k=02(1k+2-1k+3)+(13+2-13+3)=(12-15)+(15-16)=12-15+15-16=12-16=13

s4=k=04(1k+2-1k+3)=k=03(1k+2-1k+3)+(14+2-14+3)=(12-16)+(16-17)=12-16+16-17=12-17=514

s5=k=05(1k+2-1k+3)=k=04(1k+2-1k+3)+(15+2-15+3)=(12-17)+(17-18)=12-17+17-18=12-18=38

s6=k=06(1k+2-1k+3)=k=05(1k+2-1k+3)+(16+2-16+3)=(12-18)+(18-19)=12-18+18-19=12-19=718

s7=k=07(1k+2-1k+3)=k=06(1k+2-1k+3)+(17+2-17+3)=(12-19)+(19-110)=12-19+19-110=12-110=25

s8=k=08(1k+2-1k+3)=k=07(1k+2-1k+3)+(18+2-18+3)=(12-110)+(110-111)=12-110+110-111=12-111=922

...

sn=k=0n(1k+2-1k+3)=12-1n+3=n+32(n+3)-22(n+3)=n+3-22(n+3)=n+12(n+3)

Deine Nummerierung der Partialsummen ist unlogisch, denn für die obere Summengrenze n=0 ermittelst Du s1, für die obere Summengrenze n=1 ermittelst Du s2 usw.

Du erkennst, wenn man die durch die PBZ mühsam in 2 Brüche zerlegten Summanden nicht erst wieder mühsam addiert, kommt man schneller zu seinen Partialsummen und vor allem erkennt man leichter, wie die allgemeine Partialsumme sn aussieht!
Frage beantwortet
giney1

giney1 aktiv_icon

17:42 Uhr, 25.02.2015

Antworten
Ja, so sieht man es wirklich viel viel einfacher, vielen lieben Dank!