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obere Schranken bzw. Suprenum, Epsilonumgebung?

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Epsilon, Grenzwert, Supremum

Marcell025 aktiv_icon

21:48 Uhr, 11.10.2016

Meine Frage ist zur Aufgabe im Bild(es hatte zuviele Symbole, deshalb Foto). Leider verstehe ich nicht einmal die Frage. Ich wäre froh, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Vielen Dank bereits im voraus!

Meine Ideen:
Wenn Zeta-Supremum von

X

ist, dann folgt, dass es für alle positiven Epsilons ein xEpsilon gibt, für das Zeta minus Epsilon kleiner ist.Stimmt das? Wenn ja, wie muss ich das jetzt zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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ermanus aktiv_icon

21:54 Uhr, 11.10.2016

Wie ist denn bei Euch

sup X

definiert?

P.S. das

ξ

ist kein Zeta, sondern ein Xi.

Marcell025 aktiv_icon

13:52 Uhr, 12.10.2016

Die Definition des Supremums ist wieder auf dem Bild(unten) zu sehen.

Danke für den Hinweis wegen XI ;-)

ermanus aktiv_icon

14:01 Uhr, 12.10.2016

Danke für die Definition, also

ξ = sup X

ist die kleinste obere Schranke von

X

.
Sei nun

ε > 0

, ist dann

ξ - ε

immer noch eine obere Schranke von

X

Marcell025 aktiv_icon

14:14 Uhr, 12.10.2016

Nein, es ist keine obere Schranke mehr, oder? Es ist ja nun kleiner als XI und XI war die kleinste obere Schranke. Oder bin ich falsch?

ermanus aktiv_icon

14:21 Uhr, 12.10.2016

Du bist ganz richtig! da nun

ξ - ε

keine obere Schranke ist,
muss es ein Element in

X

, ich nenne es mal

x_{ε}

, geben, so dass

ξ - ε < x_{ε}

ist. Andererseits sind alle Elemente von

X

kleiner oder gleich

ξ

; denn

ξ

ist eine obere Schranke, folglich ...

Marcell025 aktiv_icon

14:31 Uhr, 12.10.2016

Vielen Dank für Ihre Antwort!

Ist der letzte Satz bereits für die umgekehrte Implikation(<-)? Andernfalls verstehe ich den Satz gerade nicht...

ermanus aktiv_icon

14:37 Uhr, 12.10.2016

Nein, so meinte ich das nicht. Ich meinte nur, dass dann ja
offenbar

x_{ε} \leq ξ

ist und damit hat man gezeigt,
dass dann

ξ - ε < x_{ε} \leq ξ

ist.
Da

e > 0

beliebig war, folgt daraus die "

\Rightarrow

"-Richtung.
Nun bist Du mit "

\Leftarrow

" dran ;-).
Gruß ermanus

Marcell025 aktiv_icon

14:43 Uhr, 12.10.2016

Ah jetzt verstehe ich! Vielen Dank!

Ich werde mich in etwa einer Stunde(oder später) mit meiner Idee für die umgekehrte Implikation(<-) melden. ;-)

PS: Wie kann die Implikation

(\to)

formal korrekt bewiesen werden? Verstehen tue ich sie jetzt, aber ich habe keine Idee, wie ich sie beweisen muss.

Marcell025 aktiv_icon

20:20 Uhr, 12.10.2016

Leider komme ich nicht auf die Lösung für die umgekehrte Implikation... Und auch die Implikation(->) kann ich nicht formal korrekt niederschreiben.

Ich wäre also noch einmal froh um Hilfe.

Vielen Dank bereits im voraus!

ermanus aktiv_icon

21:12 Uhr, 12.10.2016

Beweis von "

\Leftarrow

ξ

ist nach General-Voraussetzung eine obere Schranke von

X

. Wir zeigen, dass jede Zahl

t

,
die kleiner als

ξ

ist, keine obere Schranke ist; denn dann ist

ξ

offenbar die kleinste obere Schranke von

X

, also

ξ = sup X

.
Sei also

t < ξ

. Wir setzen

ε = ξ - t

. Dann ist

ε > 0

. Also

\exists x_{ε} \in X

mit

t = ξ - ε < x_{ε}

, d.h.

t

ist keine obere Schranke von

X

.

Was verstehst Du unter "formal korrekt" hinschreiben?

Marcell025 aktiv_icon

21:45 Uhr, 12.10.2016

Vielen Dank für Ihre Antwort! Diese hat mir wirklich sehr geholfen!

Unter "formal korrekt verstehe" ich, die Begründung mathematisch so aufzuschreiben, dass sie als Beweis gesehen werden kann.

Marcell025 aktiv_icon

21:48 Uhr, 12.10.2016

Ich wünsche Ihnen noch einen schönen Abend und bedanke mich noch einmal für ihre kompetente Hilfe!

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