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offene oder abgeschlossene Menge - komplexe Zahlen

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Folgen und Reihen

Funktionentheorie

Grenzwerte

Komplexe Zahlen

Tags: Folgen und Reihen, Funktionentheorie, Grenzwert, Komplexe Zahlen

Marie1327 aktiv_icon

11:31 Uhr, 06.12.2022

"Gegeben sei die folgende Teilmenge von

C :

A := x +

| x > 0, y \geq \frac{1}{x}

Untersuchen Sie die Menge A auf Offenheit bzw. Abgeschlossenheit (mit Beweisen)."

Wir sind uns ziemlich sicher, dass A abgeschlossen ist (die Randpunkte befinden sich laut unserer Zeichnung drin) und wir glauben, dass es offen ist (da allerdings nicht zu

100 %

sicher)

Wir wissen jedoch nicht, wie wir das beweisen sollen (Zeichnung reicht wohl nicht aus :-D))

kann einer helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

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Punov aktiv_icon

13:20 Uhr, 06.12.2022

Hallo!

Um Abgeschlossenheit zu zeigen, genügt es ein

x \in A

anzugeben, für das es für jedes

ɛ > 0

ein

y \in ℂ

gibt mit Abstand zu

x

kleiner als

ɛ

, aber

y \notin A

.

Dazu seien

ɛ > 0

beliebig und

x = a + b i \in A

mit

b = 1 / a

.
Wähle

y = c + d i

mit

c = a

und

d \in (b - ɛ, b)

.

Viele Grüße

HAL9000

14:20 Uhr, 06.12.2022

> Um Abgeschlossenheit zu zeigen, genügt es ein

x \in A

anzugeben, für das es für jedes

ε > 0

ein

y \in C

gibt mit Abstand zu

x

kleiner als

ε

, aber

y / \in A

.

Da ist aber einiges schiefgegangen. Nach dieser deiner Charakterisierung wäre auch

B := {x + i y ∣ x > 0, y > \frac{1}{x}} \cup {1 + i}

abgeschlossen, was sicher falsch ist.

Punov aktiv_icon

16:20 Uhr, 06.12.2022

Stimmt, damit zeigt man lediglich, dass

A

nicht offen ist, was nicht bedeutet, dass

A

abgeschlossen ist. Sorry, kurz verdrängt, dass Offenheit und Abgeschlossenheit nicht komplementär sind. Zu viel Glühwein am Nikolaustag!

Muss man also doch zeigen, dass das Komplement von

A

offen ist oder, was vielleicht handlicher ist, benutzen, dass

A = f^{- 1} ([0, \infty)^{2})

für die stetige Funktion

f (x + i y) = (x, x y - 1)

.

Viele Grüße

Marie1327 aktiv_icon

17:02 Uhr, 06.12.2022

Danke euch beiden, damit probiere ich es jetzt erstmal.
Schönen Nikolaus :-)

Marie1327 aktiv_icon

17:02 Uhr, 06.12.2022

Danke euch beiden, damit probiere ich es jetzt erstmal.
Schönen Nikolaus :-)

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