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punktweise,gleichmäßige und Lp-Konvergenz

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Grenzwerte

Maßtheorie

Tags: gleichmäßige Konvergenz, Grenzwert, Konvergenz, Maßtheorie, Punktweise Konvergenz

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20:25 Uhr, 25.03.2024

Hey,

Ich bin habe heute Mittag folgende Aufgabe gerechnet:
Sei

(f_{k})_{k \in ℕ}

eine Funktionenfolge mit

f_{k} : ℝ \to ℝ

definiert durch

f_{k} (x) = \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}} χ_{[2^{k}, 2^{k + 1}]} (x)

für alle

x \in ℝ, k \in ℕ

Ich sollte

(f_{k})_{k \in ℕ}

dann auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen und sagen für welche

p \in [1, \infty)

die Folge in

L^{p} (ℝ)

konvergiert.

Die gleichmäßige und punktweise Konvergenz habe ich hinbekommen(bin mir aber nicht ganz sicher)
Bei der

L^{p} (ℝ)

-Konvergenz habe ich jedoch keine

p

gefunden. Das ist aber sehr sicher falsch. Wo liegt mein Fehler:

∥ f_{k} - f ∥_{L^{p}} = (\int_{ℝ} ∣ f_{k} - f ∣^{p} d λ)^{\frac{1}{p}} = (\int_{ℝ} ∣ \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}} χ_{[2^{k}, 2^{k + 1}]} (x) - 0 ∣^{p} d λ)^{\frac{1}{p}} = (\int_{2^{k}}^{2^{k + 1}} ∣ 2^{- \frac{k}{2}} ∣^{p} d λ)^{\frac{1}{p}} = (\int_{2^{k}}^{2^{k + 1}} 2^{p - \frac{k}{2}} d λ)^{\frac{1}{p}}

= ([2^{p - \frac{k}{2}} x]_{2^{k}}^{2^{k + 1}})^{\frac{1}{p}} = (2^{p - \frac{k}{2} + k + 1} - 2^{p - \frac{k}{2} + k})^{\frac{1}{p}} = (2^{p + \frac{k}{2}})^{\frac{1}{p}} = 2^{1 + \frac{k}{2 p}}

Für

k \to \infty

konvergiert dieser Ausdruck jedoch für kein

p

. Ich habe schon viele ähnliche Aufgaben gerechnet und normal hat man immer ein p gefunden. Ist diese Aufgabe einfach anders oder habe ich einen Fehler?

Die nächsten zwei Beweise für punktweise und gleichmäßige Konvergenz sind mir nicht so wichtig und sollten hoffentlich stimmen. Falls wer Zeit hat kann er gerne mal drüber schauen :-):

1) Punktweise Konvergenz:
Wähle

N = k + 2

für

x \in [2^{k}, 2^{k + 1}]

. Ab dann ist nämlich

χ_{[2^{k}, 2^{k + 1}]} (x)

immer Null und folglich konvergiert

(f_{k})_{k \in ℕ}

punktweise gegen

0

.
2) Gleichmäßige Konvergenz:
Auch hier wollen wir zeigen, dass der Grenzwert Null ist. Also:

lim_{k \to \infty} sup_{x \in ℝ} ∣ f_{k} (x) ∣ = 0

Beweis:

lim_{k \to \infty} sup_{x \in ℝ} ∣ f_{k} (x) ∣ = lim_{k \to \infty} sup_{x \in ℝ} ∣ \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}} χ_{[2^{k}, 2^{k + 1}]} (x) ∣ \leq lim_{k \to \infty} sup_{x \in ℝ} ∣ 2^{- \frac{k}{2}} ∣ = lim_{k \to \infty} ∣ 2^{- \frac{k}{2}} ∣ = 0

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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