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rekursiv definierte Folge, Grenzwert

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Grenzwert, rekursive folge

SoNyu

03:39 Uhr, 06.11.2013

Hi, ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe:

Für beliebiges

a_{0} \in ℝ

0 < a_{0} < 1

, ist durch

a_{n + 1} := 1 - \sqrt{1 - a_{n}}

eine Folge

a_{n}

reeller Zahlen definiert. Zeigen Sie

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

Als Hinweis habe ich gegeben, dass ich verwenden könnte, dass wenn gilt

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

dann

lim_{n \to \infty} \sqrt{a_{n}} = \sqrt{a}

Jetzt habe ich erstmal angenommen die Folge hätte einen Grenzwert

a

und diesen ausgerechnet:

a = 1 - \sqrt{1 - a}

Unter der Einschränkung

a < 1

ist dann

a = 0

der Grenzwert.
Nun würde ich gerne zeigen, dass die Folge konvergent ist und eben einen Grenzwert hat.
Ich hatte mir gedacht, dass ich das Vollständigkeitsaxiom verwende. Damit muss ich zeigen, dass

1. Die Folge beschränkt ist.
2. Monoton wächst oder fällt.

woraus die Konvergenz folgen würde.

Die Folge sollte monoton fallen, also

a_{n} > a_{n + 1}

Dies würde ich gerne durch Induktion zeigen:

I.A

n=0

a_{0} > 1 - \sqrt{1 - a_{0}}

Wenn ich dies umforme erhalte ich

a_{0} > 0

was nach Voraussetzung gilt.

Nun der Induktionsschritt:

n \to n + 1

Woran ich leider Scheiter.
Ich muss ja nun

a_{n} > a_{n + 1}

zeigen. Wenn ich die rekursive Definition anwenden also folgendes:

1 - \sqrt{1 - \sqrt{1 - a_{n - 1}}} > 1 - \sqrt{1 - a_{n}}

Hier komme ich nicht dazu die Induktionsvoraussetzung anzuwenden.

Im letzten Schritt hätte ich:

1 - a_{n - 1} > a^{2}_

Hier könnte ich zwar noch die 1 subtrahieren und dann auf der rechten Seite der Ungleichung die dritte binomische Formel anwenden, aber ich wüsste nicht was das bringen soll...

Das die Folge nach oben beschränkt durch

1

beschränkt ist, ist eigentlich direkt klar, weil die Wurzel immer positiv ist von 1 somit immer etwas positives subtrahiert wird. Außerdem wenn

a_{n} > 1

wäre, dann wäre die Wurzel (im reellen) nicht mehr definiert.
Jetzt bräuchte ich noch die untere Schranke, welche Null sein sollte, aber hier habe ich erstmal keine Idee.

Leider gehe ich auch nicht wirklich davon aus, dass irgendwas von dem was ich geschrieben habe richtig ist. :(

Über Tipps würde ich mich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Bummerang

07:05 Uhr, 06.11.2013

Hallo,

wenn schon Induktion, dann vielleicht so:

0 < a_{n} < 1

0 > - a_{n} > - 1

1 > 1 - a_{n} > 0

1 > \sqrt{1 - a_{n}} > 1 - a_{n} > 0

- 1 < - \sqrt{1 - a_{n}} < - 1 + a_{n} < 0

0 < 1 - \sqrt{1 - a_{n}} < a_{n} < 1

0 < a_{n + 1} < a_{n} < 1

Und so hat man neben der Monotonie gleich noch die Beschrànktheit erledigt...

SoNyu

14:19 Uhr, 06.11.2013

Wow, cool.
Das wäre die ganze Induktion? Kann man hier auf einen Induktionsanfang verzichten, oder hast du ihn bloß nicht mit aufgeschrieben?

Wenn ich nun weiß, dass die Folge Monoton und beschränkt ist, dann kann ich

a = lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = lim_{n \to \infty} 1 - \sqrt{1 - a_{n}} = 1 - \sqrt{1 - a} = . . . = 0

a = 0

Und das sollte es gewesen sein?

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