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stetigkeit R^2 -> R

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Grenzwert, lim, Stetigkeit

lele-backfisch aktiv_icon

12:43 Uhr, 19.06.2016

Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

In welchen Punkten des R2 ist die folgende Abbildung f:R^2 -> R stetig?

(x, y) \to {\begin{aligned} \frac{x + y}{x - y} & f u e r, x \neq y \\ 0 & s o n s t \end{aligned}

Ich würde sagen, dass für alle (a,b)€R, sodass a!=b ist, ist die Funktion schoneinmal stetig, da es eine Komposition stetiger Funktionen ist.

Aber wie sieht es bei x=y aus?

Da müsste man doch eigentlich folgendes überprüfen:

ob

lim_{x \to a, y \to a} \frac{x + y}{x - y} = 0

Ich habe es soweit umgeformt:

\frac{x + y}{x - y} = 1 + \frac{2 y}{x - y}

Aber würde man da nicht immer durch 0 teilen?
Oder wie bestimmt man den Limes?

Bin dankbar für jede Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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IPanic aktiv_icon

13:57 Uhr, 19.06.2016

Hallo,
meistens muss man hier zeigen, dass

f

nicht bei

(x_{0}, x_{0})

stetig ist. Falls

f

bei

(x_{0}, x_{0})

stetig wäre, so gilt für jede Folge

(x_{n}) = (x_{n_{1}}, x_{n_{2}})

ℝ^{2}

mit

lim_{n \to \infty} (x_{n}) = (x_{0}, x_{0}) :

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (x_{0}, x_{0})

Jedoch ist für

(x_{n}) = (\frac{2}{n} + x_{0}, \frac{1}{n} + x_{0}), f (x_{n}) = \frac{\frac{3}{n} + 2 x_{0}}{\frac{1}{n}} = 3 + 2 x_{0} \cdot n,

also

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = \infty \neq f (x_{0}, x_{0}) = 0

für alle

x_{0} \neq 0

und für

x_{0} = 0

ist

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = 3 \neq f (0,0) = 0

lele-backfisch aktiv_icon

14:25 Uhr, 19.06.2016

Aber müsste bei dem Gegenbeispiel nicht x=y sein?
Weil in der Abbildung ist der Fall x=0, y=0 ja nur dadurch gegeben, dass x=y.
Und man weiß dann ja nicht wie es in den anderen Punkten aussieht, wo x=y, oder?