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uneigentlicher und eigentlicher grenzwert

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Grenzwert

Shirua aktiv_icon

12:00 Uhr, 14.09.2018

Guten Vormittag,

ich habe 2 Fragen und würde mich über eine Erklärung freuen :-).

die erste ist, dass ich bei dieser Aufgabenstellung nicht weiterkomme:
Gegeben ist die Funktionsgleichung

f (x) = \frac{3 x}{tan (x)}

Bestimmen Sie die eigentlichen oder uneigentlichen Grenzwerte:

1 . f (x) = lim

x→

\frac{π}{3}

2 . f (x) = lim

x→

\frac{π}{2}

3 . f (x) = lim

x→

π +

4 . f (x) = lim

x→ 0

ich weiß zwar, wie man einen normalen Grenzwert berechnet, komme hier aber nicht weiter.
bedenkt, dass ich auch keinen rechner benutzen darf.

tan (0) = tan (π) = 0 d . h

. eine Polstelle und

\frac{π}{2}

ist ein syntaxerror. bei

\frac{π}{3}

kommt eine nachkommazahlraus, die ich ohne rechner nicht hinbekomme.

könnt ihr mir bitte erklären, was der Unterschied zwichen eigentlichem und uneigentlichem Grenzwert ist und was dieses

+

oder - vor bzw. nach

x >

-Zahl+ bedeutet.

Mit freundlichen Grüßen
Shirua

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

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\frac{0}{0}

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Respon

12:18 Uhr, 14.09.2018

Die wichtigsten Winkelfunktionswerte aus

[0; \frac{π}{2}]

sollte man wissen.
Was ist denn

tan (\frac{π}{3})

bzw.

tan (

30° )?

Shirua aktiv_icon

12:22 Uhr, 14.09.2018

1.73205080757

ergibt das. Was ist den der Unterschied zwichen eigentlichem und uneigentlichem und wie gehe ich hier vor? und was bedeutet dieses

+

und - vor bzw. nach einem

lim

x>+inf- ? bedeutet das links und rechtsseitig?

Respon

12:26 Uhr, 14.09.2018

Wo hast du diesen Zahlenwert her ? Taschenrecher. Den solltest du doch nicht verwenden.
tan (30°)

= \frac{1}{\sqrt{3}}

. Damit stellt der erste

l i m

kein Problem dar.

Respon

12:38 Uhr, 14.09.2018

\frac{3 \cdot x}{tan (x)} = \frac{3 \cdot x}{\frac{sin (x)}{cos (x)}} = \frac{3 \cdot x \cdot cos (x)}{sin (x)}

Und was tut sich jetzt für

x \to \frac{π}{2}

x \to π^{+}

bedeutet, dass sich die x-Werte von "rechts" nähern, also immer Werte mit

x > π

Und schließlich

x \to 0

. Du weißt sicher

: lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = 1

Shirua aktiv_icon

12:45 Uhr, 14.09.2018

für

\frac{π}{2}

ist

cos (x) = 0

sodass der term 0 ergibt, was denke ich dann der grenzwert ist. habe mir

tan (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)}

und

\frac{x}{\frac{x^{2}}{x^{3}}} = \frac{x \cdot x^{3}}{x^{2}}

notiert danke dafür

Shirua aktiv_icon

12:47 Uhr, 14.09.2018

bei

π +

geht sin ja immer näher an die null, weil

sin π

ja 0 ist, was inf ergibt, da der nenner ja immer kleiner wird?

und beim letzten kriege ich einfach nur einen syntax error da

sin (0) = 0

ist

Respon

12:48 Uhr, 14.09.2018

Die letzte Zeile ergibt für mich wenig Sinn !

. .

. und es hat schon einen Grund, warum

x \to π^{+}

gefordert ist.

. .

. und du kannst keinen syntax error bekommen, da du keinen Taschenrechner verwendest.

( EDIT : Ich habe mich ganz oben verschrieben

: tan (\frac{π}{3}) = \sqrt{3})

Shirua aktiv_icon

13:07 Uhr, 14.09.2018

sorry komme bei den letzen beide nicht weiter. was kommt den raus, wenn für sin oder

cos

im nenner eine zahl gegen 0 geht oder

π +

verstehe ich auch nicht. Also da es immer mehr an

π

rangeht, aber nie

π

wird heißt das doch der grenz wert wird unendlich klein und eine zahl geteilt durch eine unendlichkleine ist doch unendlich?

ps. muss jetzt für eine stunde weg, werde dannach antworten, sry und danke für den aufwand

Respon

13:08 Uhr, 14.09.2018

Ich muss auch offline gehen !

Shirua aktiv_icon

14:07 Uhr, 14.09.2018

Würde mich freuen, wenn mir jemand die letzten beiden erklären könnte, komme bei diesen nicht weiter. Danke

Shirua aktiv_icon

14:16 Uhr, 14.09.2018

Push

Respon

14:19 Uhr, 14.09.2018

lim_{x \to π^{+}} \frac{3 \cdot x}{tan (x)}

tan (π) = 0

Da der Zähler

\neq 0

ist, strebt der Wert des Bruchterms gegen

+ \infty

oder

- \infty,

je nachdem, von welcher Seite wir uns nähern. Da der

t a n

eine streng monotone wachsende Funktion ist muss der

t a n

in der Umgebung von

π

für

x > π

positiv sein.
Also

lim_{x \to π^{+}} \frac{3 \cdot x}{tan (x)} = + \infty

( uneigentlicher Grenzwert )

lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x}{tan (x)} =

\frac{3 \cdot x}{tan (x)} = \frac{3 \cdot x \cdot cos (x)}{sin (x)} = \frac{3 \cdot cos (x)}{\frac{sin (x)}{x}}

Da gilt

lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = 1

\Rightarrow lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x}{tan (x)} = 3

Shirua aktiv_icon

14:32 Uhr, 14.09.2018

danke, 3 verstanden. warum ist den

\frac{sin (X)}{x} = 1

bei

x > 0

? und warum ist

\frac{cos (x)}{x}

infinity?

Respon

20:01 Uhr, 14.09.2018

Du meinst wohl : Warum ist

lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} = 1

z, B

. weil gilt

sin (x) < x < tan (x)

( siehe geometrische Interpretation im Einheitskreis )

sin (x) < x < \frac{sin (x)}{cos (x)}

| : sin (x)

(sin (x) \neq 0

für

x \neq 0)

1 < \frac{x}{sin (x)} < \frac{1}{cos (x)}

1 > \frac{sin (x)}{x} > cos (x)

Nun lassen wir

x

gegen 0 gehen.

lim_{x \to 0} 1 > lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} > lim_{x \to 0} cos (x)

\Rightarrow

1 > lim_{x \to 0} \frac{sin (x)}{x} > 1 \Rightarrow lim_{x \to =} \frac{sin (x)}{x} = 1

lim_{x \to 0} \frac{cos (x)}{x} =

?
Der Zähler geht gegen

1,

der Nenner gegen

0 \Rightarrow lim_{x \to 0} \frac{cos (x)}{x} = + \infty

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