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uneigentlicher und eigentlicher grenzwert

Universität / Fachhochschule

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Tags: Grenzwert

 
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Shirua

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12:00 Uhr, 14.09.2018

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Guten Vormittag,

ich habe 2 Fragen und würde mich über eine Erklärung freuen :-).

die erste ist, dass ich bei dieser Aufgabenstellung nicht weiterkomme:
Gegeben ist die Funktionsgleichung
f(x)=3xtan(x)
Bestimmen Sie die eigentlichen oder uneigentlichen Grenzwerte:

1.f(x)=lim x→ π3

2.f(x)=lim x→ π2

3.f(x)=lim x→ π+

4.f(x)=lim x→ 0

ich weiß zwar, wie man einen normalen Grenzwert berechnet, komme hier aber nicht weiter.
bedenkt, dass ich auch keinen rechner benutzen darf. tan(0)=tan(π)=0d.h. eine Polstelle und π2 ist ein syntaxerror. bei π3 kommt eine nachkommazahlraus, die ich ohne rechner nicht hinbekomme.

könnt ihr mir bitte erklären, was der Unterschied zwichen eigentlichem und uneigentlichem Grenzwert ist und was dieses + oder - vor bzw. nach x> -Zahl+ bedeutet.

Mit freundlichen Grüßen
Shirua

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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12:18 Uhr, 14.09.2018

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Die wichtigsten Winkelfunktionswerte aus [0;π2] sollte man wissen.
Was ist denn tan(π3) bzw. tan( 30° )?
Shirua

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12:22 Uhr, 14.09.2018

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1.73205080757 ergibt das. Was ist den der Unterschied zwichen eigentlichem und uneigentlichem und wie gehe ich hier vor? und was bedeutet dieses + und - vor bzw. nach einem lim x>+inf- ? bedeutet das links und rechtsseitig?
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12:26 Uhr, 14.09.2018

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Wo hast du diesen Zahlenwert her ? Taschenrecher. Den solltest du doch nicht verwenden.
tan (30°) =13. Damit stellt der erste lim kein Problem dar.
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12:38 Uhr, 14.09.2018

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3xtan(x)=3xsin(x)cos(x)=3xcos(x)sin(x)
Und was tut sich jetzt für xπ2?

xπ+
bedeutet, dass sich die x-Werte von "rechts" nähern, also immer Werte mit x>π

Und schließlich x0. Du weißt sicher :limx0sin(x)x=1
Shirua

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12:45 Uhr, 14.09.2018

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für π2 ist cos(x)=0 sodass der term 0 ergibt, was denke ich dann der grenzwert ist. habe mir tan(x)=sin(x)cos(x) und xx2x3=xx3x2 notiert danke dafür


Shirua

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12:47 Uhr, 14.09.2018

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bei π+ geht sin ja immer näher an die null, weil sinπ ja 0 ist, was inf ergibt, da der nenner ja immer kleiner wird?

und beim letzten kriege ich einfach nur einen syntax error da sin(0)=0 ist
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12:48 Uhr, 14.09.2018

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Die letzte Zeile ergibt für mich wenig Sinn !


... und es hat schon einen Grund, warum xπ+ gefordert ist.

... und du kannst keinen syntax error bekommen, da du keinen Taschenrechner verwendest.


( EDIT : Ich habe mich ganz oben verschrieben :tan(π3)=3)
Shirua

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13:07 Uhr, 14.09.2018

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sorry komme bei den letzen beide nicht weiter. was kommt den raus, wenn für sin oder cos im nenner eine zahl gegen 0 geht oder π+ verstehe ich auch nicht. Also da es immer mehr an π rangeht, aber nie π wird heißt das doch der grenz wert wird unendlich klein und eine zahl geteilt durch eine unendlichkleine ist doch unendlich?

ps. muss jetzt für eine stunde weg, werde dannach antworten, sry und danke für den aufwand
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13:08 Uhr, 14.09.2018

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Ich muss auch offline gehen !
Shirua

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14:07 Uhr, 14.09.2018

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Würde mich freuen, wenn mir jemand die letzten beiden erklären könnte, komme bei diesen nicht weiter. Danke
Shirua

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14:16 Uhr, 14.09.2018

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14:19 Uhr, 14.09.2018

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limxπ+3xtan(x)
tan(π)=0
Da der Zähler 0 ist, strebt der Wert des Bruchterms gegen + oder -, je nachdem, von welcher Seite wir uns nähern. Da der tan eine streng monotone wachsende Funktion ist muss der tan in der Umgebung von π für x>π positiv sein.
Also
limxπ+3xtan(x)=+  ( uneigentlicher Grenzwert )



limx03xtan(x)=?
3xtan(x)=3xcos(x)sin(x)=3cos(x)sin(x)x
Da gilt limx0sin(x)x=1
limx03xtan(x)=3



Shirua

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14:32 Uhr, 14.09.2018

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danke, 3 verstanden. warum ist den sin(X)x=1 bei x>0? und warum ist cos(x)x infinity?
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20:01 Uhr, 14.09.2018

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Du meinst wohl : Warum ist limx0sin(x)x=1  ?
z,B. weil gilt
sin(x)<x<tan(x)  ( siehe geometrische Interpretation im Einheitskreis )
sin(x)<x<sin(x)cos(x)  | :sin(x)  (sin(x)0 für x0)
1<xsin(x)<1cos(x)
1>sin(x)x>cos(x)
Nun lassen wir x gegen 0 gehen.
limx01>limx0sin(x)x>limx0cos(x)

1>limx0sin(x)x>1limx=sin(x)x=1

limx0cos(x)x=?
Der Zähler geht gegen 1, der Nenner gegen 0limx0cos(x)x=+