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unendliche Reihe: n*z^n Grenzwert

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, Unendliche Reihe

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17:05 Uhr, 01.05.2011

Hallo,
hänge hier grad fest...
möchte den Grenzwert von

\sum_{n = 0}^{\infty} n z^{n}

berechnen für

z < 1

Ergebnis kenn ich:

\frac{z}{(z - 1)^{2}}

Möchte wissen, wie man darauf kommt.

Schon mal danke im voraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
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\frac{\infty}{\infty}

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Sina86

19:18 Uhr, 01.05.2011

Hi,

schau dir erst die geometrische Reihe (?) an:

\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = \frac{1}{1 - z}

Der Beweis läuft über die Teleskopsumme, dazu betrachten wir die k-te Partialsumme:

\sum_{n = 0}^{k} z^{n} \cdot (1 - z) = \sum_{n = 0}^{k} z^{n} - \sum_{n = 0}^{k} z^{n + 1} = \sum_{n = 0}^{k} z^{n} - \sum_{n = 1}^{k + 1} z^{n} = 1 - z^{k + 1}

Aus der Grenzwertbetrachtung folgt aufgrund von

∣ z ∣ < 1

, dass

\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} \cdot (1 - z) = 1 \Leftrightarrow \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = \frac{1}{1 - z}

Denselben Trick wende nun auf

\sum_{n = 0}^{\infty} n z^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} n z^{n}

an. Wir betrachten

\sum_{n = 1}^{k} n z^{n} \cdot (z - 1) = \sum_{n = 1}^{k} n z^{n + 1} - \sum_{n = 1}^{k} n z^{n} = \sum_{n = 2}^{k + 1} (n - 1) z^{n} - \sum_{n = 1}^{k} n z^{n} = \sum_{n = 1}^{k} - z^{n} + k z^{k + 1}

und nach der Grenzwertbetrachtung (hier wäre noch zu beweisen, dass

k z^{k + 1}

für

∣ z ∣ < 1

gegen Null geht):

- \sum_{n = 1}^{\infty} z^{n} = 1 - 1 - \sum_{n = 1}^{\infty} z^{n} = 1 - \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n} = 1 - \frac{1}{1 - z} = \frac{1 - z - 1}{1 - z} = - \frac{z}{1 - z} = \frac{z}{z - 1}

insgesamt also

\sum_{n = 0}^{\infty} n z^{n} \cdot (z - 1) = \frac{z}{z - 1} \Leftrightarrow \sum_{n = 0}^{\infty} n z^{n} = \frac{z}{(z - 1)^{2}}

Gruß
Sina

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20:49 Uhr, 01.05.2011

Alles klar :-)
vielen Dank!!

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