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verallgemeinerte Kreisgleichung in C

Universität / Fachhochschule

Tags: Inversion, Komplex, Kreis, Kreisgleichung

shiroxx aktiv_icon

23:40 Uhr, 24.11.2020

Guten Abend,

ich beschäftige mich erneut mit der verallgemeinerten Kreisgleichung in

ℂ

die wie folgt aussieht:

E ∣ z ∣^{2} + F z + \overline{F} \overline{z} + G = 0

Jetzt möchte ich gerne folgenden Aussage beweisen, und wollte fragen ob ihr mir erneut ein Tipp geben könntet, was ich dafür genau zeigen muss, oder wie ich das nachrechnen kann.

Ein verallgemeinerter Kreis schneidet genau dann

ℝ

orthogonal, falls

F = \overline{F}

eine reele Zahl ist.

Wenn ich

F = \overline{F}

oben einsetze habe ich ja

E ∣ z ∣^{2} + F z + \overline{F} \overline{z} + G = E ∣ z ∣^{2} + F z + F \overline{z} + G = E ∣ z ∣^{2} + F (z + \overline{z}) = E ∣ z ∣^{2} + 2 x + G = 0

Muss ich das jetzt noch weiter nach

x

auflösen?

Vielen Dank und liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

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und was bringt sie mir?

DrBoogie aktiv_icon

08:37 Uhr, 25.11.2020

Geometrisch ist klar, dass ein Kreis die x-Achse nur dann orthogonal schneidet, wenn das Zentrum des Kreises auf der x-Achse liegt.

shiroxx aktiv_icon

11:55 Uhr, 25.11.2020

Geometrisch kann ich mir das auch gut vorstellen, ich frage mich ob ich das auch anhand der Kreisgleichung in C zeigen kann.

DrBoogie aktiv_icon

12:16 Uhr, 25.11.2020

Wenn

z = x + i y

, dann wird die Gleichung im Fall

F = \overline{F}

E (x^{2} + y^{2}) + 2 F x + G = 0

. Die Tangente im Punkt

(x, y)

ist bis auf einen Vorfaktor dann

(- 2 E y, 2 E x + 2 F)

. Also wenn

(x, y)

auf der x-Achse liegt, gilt

y = 0

und damit die Tangente senkrecht zur x-Achse.

Die Umkehrung kann man auch zeigen, wird aber noch aufwendiger.

shiroxx aktiv_icon

08:23 Uhr, 26.11.2020

Ah ich danke dir aber so sollte die Aussage doch bewiesen sein oder?

shiroxx aktiv_icon

08:23 Uhr, 26.11.2020

Ich habe noch eine Frage dazu wie man die Tangente genau bestimmt? Also in der X Koordinate wurde ja nach y-abgeleitet und in der y-Koordinate nach x. Wieso ist bei dem ersten noch ein Minuszeichen?
Es reicht auch, wenn Du mir nur das Stichwort nennen würdest, damit ich das nachschlagen kann.

Vielen Dank

DrBoogie aktiv_icon

09:00 Uhr, 26.11.2020

Wenn man die Kurve in der Form

F (x, y) = 0

hat, dann bilden die Ableitungen nach

x

und

y

einen Normalenvektor. Der Tangentialvektor steht senkrecht dazu. In diesem Fall ist also einfacher, einen Normalenvektor zu berechnen. Und dann nutzen, dass

(- b, a)

senkrecht zu

(a, b)

ist. Dabei ist das Ergebnis nicht unbedingt der Tangentialvektor, sondern nur ein Vielfaches davon. Aber in diesem Fall ist es egal, uns geht nur um die Richtung.

shiroxx aktiv_icon

09:06 Uhr, 26.11.2020

Ja, jetzt habe ich es. Oh man dankeschön. Das mit der Normalen hätte ich sehen müssen.

ledum aktiv_icon

12:23 Uhr, 26.11.2020

bitte abhaken, wenn die Frage erledigt ist.
ledum

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