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wann gelten äquivaölenzumformungen nun als beweis?

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Äquivalenzumformung, Beweis, Gleichungen, wahre aussage

kolto aktiv_icon

12:06 Uhr, 26.09.2009

Bin bisschen verwirrt im moment, weil eder was andres sagt.

also es fing so an, der prof hat uns gewarnt vorm umformen einer gleichung bis man ne wahre aussage erhält.
sein beispiel:

- 1 = 1 |^{2}

1 = 1

das is ja aber keine äquivalenzumformung, weil halt nicht beide seiten positiv sind.

heist dass wenn ich rechne

2^{2} = 4 | \sqrt{}

2 = 2

habe ich nicht bewiesen, dass

2^{2} = 4

ist? weil das auch, was falsches gewesen sein könnte und aus was falschem was richtiges folgen kann?

und nochwas: wir sollten zeigen, dass der goldene schnitt die gleichung:

(\frac{1}{g}) = g - 1

erfüllt

wenn ich jetzt in beide seiten den goldenen schnitt einsetze und dann solange die ganze gleichung äquivalent umforme bis am ende

2 = 2

steht, habt ich das dann nicht bewiesen???
macht es also einen unterschied, wenn ich die eine seite alleine solange umforme, bis die andere rauskommt?

wie ist das jetzt also? gilt sowas als beweis, wenn ich darauf achte nur wurzel zu ziehen und zu quadrieren, wenn beide seiten positiv sind? oder gilt das nie und muss einzeln zeigen, dass die eine seite gleich der anderen ist, in dem ich nur mit der einen rechne und die andere irgendwann da steht?

ich bin so verwirrt^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

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OmegaPirat

12:24 Uhr, 26.09.2009

quadrieren und radizieren sind (und da hat dein prof Recht) keine Äquivalenzumformungen, weshalb Vorsicht geboten ist.

Wenn du eine gleichung quadrierst, erhälst du eine neue gleichung, die neben deiner gesuchten Lösung eine weitere Lösung enthält, welche unerwünscht ist

nehmen wir mal die gleichung

x = 5

und jetzt quadrieren wir sie
man erhält die gleichung

x^{2} = 25

diese gleichung erhält aber nicht nur 5 als lösung, sondern auch

- 5

Deshalb muss man hier eine sogenannte Probe machen,

d . h

. du erhälst eine endliche lösungsmenge, die größer ist, als die lösungsmenge deiner Ausgangsgleichung. Jedes element der lösungsmenge musst du einsetzen um zu schauen, welches element die ausgangsgleichung tatsächlich löst. man spricht dann von einer notwendigen probe.

Es gibt noch eine zweite möglichkeit und zwar, wenn du dir sicher sein kannst, dass beide seiten der gleichung (bzw.) ungleichung vorzeichengleich sind

nehmen wir mal die dreiecksungleichung
es sei

| a + b | \leq | a | + | b |

aufgrund der betragszeichen, müssen beide seiten positiv sein, in dem fall ist quadrieren eine äquivalenzumformung

es gilt also (und wegen

{| a |}^{2} = a^{2})

{(a + b)}^{2} \leq {(| a | + | b |)}^{2}

\Leftrightarrow a^{2} + 2 a b + b^{2} \leq a^{2} + 2 | a | | b | + b^{2}

\Leftrightarrow a b \leq | a | | b |

falls

a, b > 0

oder

a, b < 0 \Rightarrow

ab<=ab bzw.

1 \leq 1

das ist korrekt
falls

a < 0, b > 0

oder

a > 0, b < 0

folgt

a b < 0 \leq | a | | b |

passt
und falls a oder

b = 0

bzw.

a = b = 0

folgt

0 \leq 0

passt
Dann hat man durch Quadrieren einen beweis geführt, hier war das schöne, dass wegen der beträge es gar nicht die möglichkeit gab, dass sich eine zweite ungewünschte lösung einschleicht.

und noch etwas. es gibt einen unterschied zwischen den beiden Fragen, welche zahl quadriert 4 ergibt und was die wurzel aus 4 ist.

Ersteres hat die Antwort

- 2

und

2,

zweiteres hat jedoch nur die antwort

2,

weil die wurzel als etwas positives definiert ist.

ich hoffe ich konnte helfen.

kolto aktiv_icon

12:52 Uhr, 26.09.2009

aber was ist jetzt mit der gleichung mit dem goldenen schnitt.
wenn ich den auf beiden seiten einsetze und solange rechne, bis eine wahre aussage rauskommt. habe ich dann bewiesen, dass der goldene schnitt die gleichung erfüllt?

und die sache mit

2^{2} = 4

das hat doch jetzt mit

- 2

nix zu tun. es geht nur darum dass

2^{2} = 4

ist und das will ich beweisen. wenn ich nun auf beiden seiten die wurzel ziehe und die wahre aussage

2 = 2

kriegt, gilt das dann als beweis? was mit

- 2

is is ja egal, es geht nur darum:

{(+ 2)}^{2} = 4

OmegaPirat

13:19 Uhr, 26.09.2009

zum goldenen schnitt, solange du nicht quadrierst oder radizierst, hast du es damit gezeigt

zur sache mit

2^{2} = 4

nun

{(- 2)}^{2} = 4

ist auch eine wahre aussage
beim wurzel ziehen, wie du es machst, würde man dann unter umständen erhalten

- 2 = 2

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