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wann ist Fläche und Tangentialebene Parallel ?

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Fläche, Gleichungen, Partielle Differentialgleichungen, Punkt, Tangentialebene

blazer88 aktiv_icon

02:50 Uhr, 29.08.2014

ALso hier eine Klausurfrage aus einer Fh. Ich kann sie leider nicht ganz lösen und bitte um Hilfe. DIe klausurfrage lautet.

In welchem Punkt P0=(X0,Y0,Z0) der Fläche z=x^2+y^2-7 ist die Tangentialebene parallel zur Ebene z=8x+2y ?
Wie lautet die Gleichung dieser Tangentialebene ?

Also Zwei Tangentialebenen sind parallel wenn die Steigungen der beiden Ebenen gleich sind. Also muss man ableiten und die Ableitungen dann gleich setzen. Allerdings muss ich hier ja partielle ableiten. Da bekomme ich Vier Ableitungen raus. wie soll ich die Vier nun gleich setzen ?

Ableitungen Fläche
d/dx= 2x
d/dy= 2y

Ableitung Ebene
d/dx= 8
d/dy= 2

Und wie bekomme ich dann die Gleichung für die Tangentialebene heraus ?

Ich bin dankbar für alle Ideen und Überlegungen ^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

08:17 Uhr, 29.08.2014

. .

. die part. Ableitunge nach

x

und

y

müssen identisch sein. Setze einfach diejenigen gleich. So erhälst du

x_{0}

und

y_{0}

und nach einsetzen in

z = x^{2} + y^{2} - 7

auch

z_{0}

.

Durch Einsetzen von

x_{0}

und

y_{0}

in die Ebenengl.

z = 8 \cdot x + 2 \cdot y

erhälst du ja

z_{1}

und die Differenz

D = z_{0} - z_{1} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - 7 - 8 \cdot x_{0} - 2 \cdot y_{0}

ist ja die Verschiebung entlang der z-Achse für deine Tangentialebene.

Diese sollte also

z = 8 \cdot x + 2 \cdot y + D

sein.

;-)

blazer88 aktiv_icon

13:36 Uhr, 29.08.2014

Ich werde da noch nicht so ganz schlau draus sry

Also ich soll die partiellen Ableitungen

z . b

der Fläche gleich setzten ?

2 x = 2 y / 2

x = y

Das ist alles was mir jetzt einfällt was ich tun kann damit und das bringt mich halt nicht weiter

Oder soll ich die beiden partiellen Ableitungen nach

x

gleich setzen ? das würde mehr sinn machen

2 x = 8 / 2

x = 4

Da würde ich einen konkreten wert raus bekommen !

Das scheint mir plausibler ?

Eddi ich kann deinen schritten leider nicht ganz folgen. Ich bin da bisschen schwer vom Begriff

\land

Kannst du das in kleineren zwischenschritten mal erläutern ?
oder am besten allgemein gültig

\land

das hast du ja eigentlich schon gemacht

Edddi aktiv_icon

14:14 Uhr, 29.08.2014

Sei

z_{1} = x^{2} + y^{2} - 2

und

z_{2} = 8 \cdot x + 2 \cdot y

Nun müssen die jeweiligen Richtungsableitungen übereinstimmen, heißt:

\frac{δ z_{1}}{δ x} = \frac{δ z_{2}}{δ x} \Rightarrow 2 \cdot x = 8 \Rightarrow x = 4

und

\frac{δ z_{1}}{δ y} = \frac{δ z_{2}}{δ y} \Rightarrow . .

\Rightarrow y =

Dann hast du den Punkt

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

auf der x-y-Ebene gefunden, an dem die Ableitungen übereinstimmen.

Die Funktionwerte von

z_{1}

und

z_{2}

unterscheiden sich dann nur noch um den "Höheunterschied" der Ebene

z_{2}

und der Tangentialebene von

z_{1}

an der Stelle

x, y

;-)

blazer88 aktiv_icon

19:24 Uhr, 29.08.2014

Jap verstanden :-)

Also ist der y-Wert des Punktes

2 y = 2

y = 1

Und

x = 4

Und jetzt soll ich ja den Punkt Po=

(x, y, z)

bestimmen. Parallel ist die Tangentialebene ja in jedem

z

Wert ? Also kann ich mir einen aussuchen ?

Wenn ja dann wäre die erste Hälfte der Aufgabe ja schon erledigt. Allerdings bin ich noch nicht auf die Gleichung gekommen die die Tangentialebene beschreibt ?

Edddi aktiv_icon

13:06 Uhr, 30.08.2014

. .

. wie schon mehrfach geschrieben erhälst du deinen Punkt

(\begin{matrix} x \\ y \\ z (x, y) \end{matrix})

durch einsetzen von

x

und

y

in deine Funktion

z = x^{2} + y^{2} - 7

.

Die Differenz der z-Werte kannst du auch bestimmen. Dann musst du nur noch die Ebene (da ja parallel zur T.-Ebene) um diese Differnz verschieben. Siehe meinen ersten Beitrag.

:-)

blazer88 aktiv_icon

03:43 Uhr, 02.09.2014

Also lautet die FUnktion die die Tangentialebene beschreibt

zt=

8 x + 2 y + 24

?

Sag jaaaa :-)

Edddi aktiv_icon

06:10 Uhr, 02.09.2014

. .

. wenn du

- 24

geschrieben hättest, dann hätt' ich jaaa gesagt.

z_{0} = x^{2} + y^{2} - 7 = 4^{2} + 1^{2} - 7 = 16 + 1 - 7 = 10

z_{1} = 8 \cdot x + 2 \cdot y = 8 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 32 + 2 = 34

D = z_{0} - z_{1} = 10 - 34 = - 24

Und deshalb die Verschiebung der Ebene um

D :

z_{T} = 8 \cdot x + 2 \cdot y - 24

Man siehts auch schön so:

Die Ebene

z_{1} = 8 \cdot x + 2 \cdot y

hat bei

x = 4

und

y = 1

den z-Wert

34

Die Fläche

z_{0} = x^{2} + y^{2} - 7

hat bei diesen Koordinaten den z-Wert

10

Also muss die Fläche

z_{1} = 8 \cdot x + 2 \cdot y

24

nach unten (also Minus) verschoben werden, damit sich dann der Wert

z = 10

ergibt.

Also

z_{T} = 8 \cdot x + 2 \cdot y - 24

:-)

blazer88 aktiv_icon

03:44 Uhr, 04.09.2014

Stimmt, jetzt wo du es sagst macht es auch Sinn

Also danke Eddi du hast mir den Arsch gerettet :-)

mach weiter so

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