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zeigen sie (a ^−1)^−1 = a

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Beweis, Gruppen, Gruppenaxiome, Körper

 
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BigTi

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23:22 Uhr, 13.11.2016

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Hi,
Aufgabe lautet:

Sei (G, ◦) eine Gruppe mit neutralem Element e. Zeigen Sie für alle a,bG:

(i) (a^−1)^−1 =a

(ii)(a ◦ b)^−1 = b^−1 ◦ a^−1

(iii) e^−1 =e


Ich habe ehrlich gesagt überhaupt keine Ahnung wie ich da genau rangehen kann. In der Vorlesung wurden ein paar Beispiele gemacht, die auch recht einfach waren. Aber hier habe ich wirklich keine Ahnung, wie ich es machen kann... Kann mir vielleicht jemand helfen? Vielleicht eine der Aufgaben vorrechnen und ich probiere es dann bei der nächsten irgendwie hin zu bekommen.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Apilex

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23:56 Uhr, 13.11.2016

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benutze die defintion des Multiplikativen - Inversen bb-1=ea(G,)


i)(I)(a-1)-1(a-1)=e| nach def Multiplikativen - Inversen für b:=a-1 und b-1=(a-1)-1

(II)e =a(a-1)| nach def Multiplikativen - Inversen für b:=a und b-1=a-1

I und II (a-1)-1(a-1)=e=a(a-1)
(a-1)-1(a-1)=a(a-1)
(a-1)-1(a-1)(a-1)-1=a(a-1)(a-1)-1 |transitivität von "="
(a-1)-1e=ae
(a-1)-1=a

ii)und iii)laufen ähnlich ab(nur kürzer)
BigTi

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10:17 Uhr, 14.11.2016

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Hm... Was genau war nochmal die Definition für multiplative inversen?...

Ich steig da immer noch nicht wirklich durch... Könnte mir vielleicht noch jemand das zu (ii) machen? Vielleicht wirds dann klarer..
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Apilex

Apilex aktiv_icon

11:09 Uhr, 14.11.2016

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b ist genau dann das Multiplikative Inverse von a wenn gilt ab=e geschrieben b=a-1( das " " das ich nutze steht natürlich für die verknüpfung innerhalb der Gruppe)


BigTi

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20:25 Uhr, 14.11.2016

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Ich habe bei der (ii) nun folgendes raus:


(ii)(ab)-1=b-1a-1

(I) (ab)-1(ab)=e
(II) e=(b-1a-1)(ba)

also:
(ab)-1(ab)=(b-1a-1)(ba)

(ab)-1(ab)=(a-1b-1)(ab) |hierfür habe ich das Gruppenaxiom 4 verwendet (G4)

(ab)-1(ab)(ab)-1=(a-1b-1)(ab)(ab)-1

(ab)-1e=(a-1b-1)e |Hierfür G3 (Existenz des Inversen)

(ab)-1=(a-1b-1)|G2 (neutrales Element)

(ab)-1=(b-1a-1)|G4 (kommutativ)

(ab)-1=b-1a-1

Ist das soweit richtig?... hoffentlich.. dann hätte ich es jetzt verstanden für i und ii...... also zuerst halt immer beide Seiten gleich e setzen?

Aber bei der iii habe ich immer noch nicht so wirklich ahnung.. vielleicht könntest du mir da auch nochmal helfen.

Liebe Grüße.
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Apilex

Apilex aktiv_icon

22:41 Uhr, 15.11.2016

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(sorry das ich erst jetzt wieder antworte hatte die Benachrichtigung überlesen )


Das Problem ist das Gruppen nicht gezwungener maßen Komutativ sind ( dann heißen diese Gruppen " abelsch") du weist nur das a-1a=e=a-1aaG gilt (I)
deshalb ähnlicher weg :

e=e
(ab)-1ab=aa-1b-1b
=>(ab)-1abb-1=aa-1b-1bb-1|b-1
(ab)-1ae=aa-1b-1e| def. Multiplikative Inverse
(ab)-1a=aa-1b-1=eb-1=b-1=b-1e=b-1(a-1a)|(I)
=>(ab)-1a=b-1(a-1a)=b-1a-1a| asoziativität
(ab)-1aa-1=b-1a-1aa-1|a-1
(ab)-1e=b-1a-1e| def. Multiplikative Inverse
(ab)-1=b-1a-1

iii) du suchst ein Gruppenelement nennen wir es mal e-1 sodas gilt ee-1=e da aber trivial gilt ee-1=e-1 da e das neutrale Element ist folgt die Lösung sofort

((I) gilt weil : wenn aa-1=e gilt a(a-1a)=ea=a=ae=a(aa-1)a-1a=aa-1)
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