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zeigen sie, dass lim n->unendlich von n^k/n! =0

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weisnichtweiter

weisnichtweiter aktiv_icon

13:50 Uhr, 17.11.2015

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zeigen sie, dass

lim_{n \to \infty} \frac{n^{k}}{n!} = 0, k \in ℕ

fest

könnt ihr mir bitte helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:54 Uhr, 17.11.2015

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Zeige

∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ < q < 1

für ein

q

und alle genug große

n

.

weisnichtweiter

weisnichtweiter aktiv_icon

14:04 Uhr, 17.11.2015

Antworten

kannst du etwas ausführlicher erklären ich stehe iwie auf dem schlauch.

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:18 Uhr, 17.11.2015

Antworten

Wenn

∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ < q < 1

ab

n = n_{0}

für ein festes

q

, dann

∣ a_{n} ∣ = ∣ \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} ∣ \cdot ∣ \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} ∣ \cdot . . . \cdot ∣ \frac{a_{n_{0} + 1}}{a_{n_{0}}} ∣ \cdot ∣ a_{n_{0}} ∣ < q^{n - n_{0} + 1} \cdot ∣ a_{n_{0}} ∣ \to 0

bei

n \to \infty

, damit auch

a_{n} \to 0

.

Das ist der Beweis des allgemeinen Kriteriums.

Die Anwending auf Deine Aufgabe sieht so aus:

a_{n} = \frac{n^{k}}{n!}

=>

∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣ = ∣ \frac{(n + 1)^{k} n!}{n^{k} (n + 1)!} ∣ = ∣ \frac{(1 + 1 / n)^{k}}{n + 1} ∣ < 0.5

für alle

n \geq n_{0} > max {3, \frac{1}{\sqrt[k]{2} - 1}}

(im Prinzip muss man diese Schranke nicht genau angeben, nur sagen, dass sie existiert).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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