einfacher Beweis mit Brüchen

Hallo,

obwohl mir letztes mal keiner helfen konnte, probier ich es jetzt nochmal. Die letzte Frage konnte ich selber klären, nach einigen Tagen, aber jetzt steh ich irgendwie auf dem Schlauch, denn eigentlich ist es glaub ich gar nicht schwer.

Wir sollen beweisen, dass  ${\displaystyle 2\le \frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist. 

Bisher hab ich halt nach den Rechengestzen für Brüche so umgeformt: ${\displaystyle 2\le \frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$; leider steh ich jetzt total auf dem Schlauch und komm nicht mehr weiter. Irgendwie, ich glaub ich hab schon ein paar Stunden zu viel Mathe auf dem Buckel heut, muss das aber eigentlich noch unbedingt schaffen. Wär super, wenn mir wer helfen könnte.

Danke. 

Ach hab noch was wichtiges vergessen: a, b sind ${\displaystyle \mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+}$

Danke für die Hilfe, das mit den Beweisen weiß ich wie es funktioniert, danke trotzdem für den Tipp. Ich mach es nur für gewöhnlich so, dass ich erst mal von der Annahme ausgehe und dann, wenn ich angelangt bin schau, ob es in die Rückrichtung auch funktioniert. Klar ist das, was ich hier geschrieben hab nicht der Beweis, nur halt schlecht, wenn ich schon die "Hinrichtung" nicht kapier. Danke nochmal für deine Hilfe, jetzt hab ichs kapiert, weiß auch nicht warum vorher nicht. 

Leider hab ich gleich noch ein Problem hinterher: 

Für alle a,b,c,d ${\displaystyle \in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit b,d ${\displaystyle >}$0 und ${\displaystyle \frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}<\frac{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gilt: ${\displaystyle \frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}<\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}<\frac{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Und, kann ich für folgende Aufgabe:

Für alle x,y ${\displaystyle \in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ zeige man die Beziehungen:

min {x,y}= ${\displaystyle \frac{1}{2}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|)}$

einfach eine Fallunterscheidung machen und dann jewels zeigen, zb. für x${\displaystyle <}$y ist das min x und einfach zeigen, dass nur das min x oder y in Frage kommt.