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[Ableitungsfunktionen] Problem bei einer aufgabe

Schüler Eingangsstufe (E1+E2),

Tags: Ableitungsfunktion

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16:06 Uhr, 15.03.2014

Wir haben von unserem Mathelehrer die aufgabe bekommen diese aufgabe zu lösen.

Zeigen Sie,dass sich die Graphen von
f(x)=x³+1
g(x)=x²+x
in einem Punkt berühren, und geben Sie die gemeinsame Tangente an.

Ich hab bis jetzt keinen Lösungsansatz gefunden.
Hoff jemand kann mir helfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Quotientenregel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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16:15 Uhr, 15.03.2014

Du brauchst zuerst die gemeinsamen Punkte, also

f (x) = g (x)

Da sind aber auch die gewöhnlichen Schnittpunkte dabei.
Deshalb muss noch die Steigung der Funktionen im gemeinsamen Berührpunkt

B (x_{0} | f (x_{0})

)gleich sein, also

f' (x_{0}) = g' (x_{0})

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16:25 Uhr, 15.03.2014

Um den Schnittpunkt zu bestimmen muss ich mir ja einen Punkt aussuchen

z . B

y = 1

und den in beide Gleichungen einmal für

f (x)

und einmal für

g (x)

einsetzen oder ?

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16:31 Uhr, 15.03.2014

Um die Schnittpunkte zu finden, musst Du, wie ich oben schon beschrieben habe

f (x) = g (x)

\Rightarrow

x^{3} + 1 = x^{2} + x

Du erhältst hier 2 Löungen, davon eine doppelte.

Dann setzt Du diese ein

f' (x)

und

g' (x)

ein,

es muss dann

f' (x_{0}) = g' (x_{0})

Edit

Kommst Du jetzt klar? Ich muss in Kürze weg.
Zur Kontrolle

B (1 | 2)

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16:55 Uhr, 15.03.2014

Ich hab jetzt ein bisschen Experimentiert und bin auf diesen Lösungsansatz gekommen

[

latex]x=1
f(1)=1³+1

f (1) = 1 + 1

f (1) = 2

P (1 | 2)

g(1)=1²+1

g (1) = 1 + 1

g (1) = 2

Q (1 | 2)

f'(1)=(1)³+1

1 = 1 + 1

\Rightarrow m 1 = 2

g'(1)=(1)²+1

1 = 1 + 1

\Rightarrow m 2 = 2

f(x)=mx+b

1 = 2 \cdot 2 + b

1 = 4 + b | - 4; T

b = - 3

g(x)=mx+b

1 = 2 \cdot 2 + b

1 = 4 + b | - 4; T

b = - 3

[

/latex]

Jetzt müsste ich ja die beiden Geraden berechnet haben oder ist das schon die Tangente die ich berechnen sollte

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17:11 Uhr, 15.03.2014

Hier muss man nicht experimentieren, sondern rechnen.

x^{3} + 1 = x^{2} + x

x^{3} - x^{2} - x + 1 = 0

Da eine ganzzahlige Lösung nur positiver oder negativer Teiler des konstanten Glieds

(1)

sein kann, also

(- 1; 1)

einsetzen.
Ich setze

x_{0} = 1

1 - 1 - 1 + 1 = 0

0 = 0

Ich habe meine 1. Lösung gefunden

x_{1} = 1

Jetzt Polynomdivision

(x^{3} - x^{2} - x + 1) : (x - 1) = x^{2} - 1

\Rightarrow x^{2} = 1

\Rightarrow x_{2} = 1 \lor x_{3} = - 1

wegen der doppelten Nullstellebei

x_{1; 2} = 1

kann man den Berührpunkt schon erkennen.

Dann

f (1) = 2

(oder

g (1) = 2)

\Rightarrow B (1 | 2)

Du musst die Ableitungen der Funktionen berechnen und dann

x = 1

einsetzen.

f' (x) = 3 \cdot x^{2} \Rightarrow f' (1) = 3 = m

g' (x) = 2 \cdot x + 1 \Rightarrow g' (1) = 3

B

ist also unser Berührpunkt

f' (- 1) \neq g' (- 1)

y = m \cdot x + b

B

und

m = 3

einsetzen

2 = 3 \cdot 1 + b

b = - 1

t = - 1

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17:15 Uhr, 15.03.2014

Ist da die Komplettelösung ?

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17:17 Uhr, 15.03.2014

Ja,

und die Tangente ist

y = 3 \cdot x - 1

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17:18 Uhr, 15.03.2014

Danke für die Hilfe.
(Ich sollte mir das für die nächste Klausur auf jedenfall nochmal genauer anschauen)

Matheboss aktiv_icon

17:23 Uhr, 15.03.2014

Du solltest die Aufgabe nochmals selbst durchrechnen, nicht nur anschauen.
Ich habe oben noch eine Zeichnung hinzugefügt.

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