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Abstandsbestimmung von geometrischem Konstrukt

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrie, iteration, Trigonometrie

anonymous

22:39 Uhr, 18.01.2013

Hallo, im Anhang habe ich ein Bild hochgeladen von der Geometrie die ich berechnen möchte. Die relevante Geometrie habe ich gelb markiert.

Gegeben ist:
SW

R

α

β

außerdem gilt:

S 1 + U 1 = S 2 + U 2

Gesucht ist:

S 1 + U 1

bzw

S 2 + U 2

Meine Ideen:
Eigene Ansätze habe ich viele, ich habe heute mehrere Stunden versucht eine Lösung zu finden aber komme nicht drauf.

Über etwas Trigonometrie komme ich auf

U 1,

dannach enden meine Ansätze in zweizeiligen Formeln und führen mich irgendwie nicht zur Lösung. Habe auch schon mal versucht das ganze in ein Koordinatesystem zu legen, aber leider auch ohne Erfolg.
Ist es möglich, dass man die Lösung garnicht von Hand berechnen kann, sondern nur nummerisch?
Da ich die Berechnung später in Excel durchführen möchte wäre ich auch bereit soetwas wie iteration etc. zu machen

Berechnung

U 1 :

dazu fehlt uns der Winkel des Teilkreises, nennen wir ihn

α :

alpha=180°-alpha-beta
U1=2*PI*R*(180°-alpha-beta)/360°

bin dankbar für jede Art von Lösungsansätzen bzw Lösungen, wie gesagt auch gerne unter Zuhilfenahme von Excel.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

anonymous

23:33 Uhr, 18.01.2013

ich bin der Meinung, dass sich die Figur mit den von dir vorgegebenen Stücken nicht in eindeutiger Weise konstruieren und damit auch nicht berechnen lässt.
Der Weg A-B-C ist eindeutig (und leicht konstruierbar).

Ich lasse mich aber vom Gegenteil meiner Aussage gerne überzeugen.
Gruß irrsinn07

anonymous

00:20 Uhr, 19.01.2013

hm...
über den Winkel

β

und dem Punkt

C,

der sich ja relativ einfach bestimmen lässt, ist ja schon einmal der Geradenverlauf von

S 1

bekannt.
Punkt A ist ebenfalls bekannt. Betrachten wir

U 2

als Vollkreis mit bekanntem Radius

R

und die Gerade

S 2

die den Kreis tangential berührt, so müsste es doch maximal 4 Lösungsmöglichkeiten für die Bedingung

S 2 + U 2 = S 1 + U 1

geben?!? Einmal die gezeichnete, einmal mit

S 2

für den 2. tangentenpunkt, und das gleiche nach links geklappt, da

S 2 + U 2 = S 1 + U 1

. .

. ich versuch das mal aufzuzeichnen(Anhang).

Von dem her denke ich, dass sich die Figur eben doch eindeutig berechnen lässt - ich weis nur nicht wie. Den vielen komplexen Zusammenhängen geschuldet mit akzeptablem Aufwand evtl. auch nur nummerisch?

anonymous

10:19 Uhr, 19.01.2013

mir erschließt sich nicht, wie du auf 4 Lösungen kommst (bzw. 2 mögliche Lagen für den Mittelpunkt des "linken" Kreises.

Was anderes wäre es, wenn die Summe s1 + U1 ein fest vorgegebener Wert wäre.
Die Bedingung lautet nach dir aber nur: s1 + U1 = s2 + U2 = bel.

anonymous

13:37 Uhr, 19.01.2013

Nun ja, Geradenverlauf von

S 1

ist ja bekannt, nur nicht die Länge. Punkt

A (

in relation zum Geradenverlauf) ist ebenfalls bekannt.

. .

.
Ich versuche mal meinen Ansatz mit Koordinatensystem zu skizzieren

. .

. dauert einenn moment...

anonymous

16:15 Uhr, 19.01.2013

Also hier mein Ansatz mit Koordinatensystem.

Ich lege den Ursprung in Punkt C. Damit heist die Geradengleichung auf der die Strecke

S 1

liegt wie folgt:

y = m x + c

da die Gerade durch 0 läuft:

c = 0

und damit

y = m x

m = \frac{x 1}{y 1}

tan (β) = \frac{y 1}{x 1} \Leftrightarrow \frac{1}{tan (β)} = \frac{x 1}{y 1} = m

\Rightarrow y = \frac{1}{tan (β)} \cdot x

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Nun berechne ich die Lage von

B

im Koordinatensystem:
Dazu berechne ich erst die Stecke BC über das gleichschenklige Dreieck BCM:

Als Winkel des Teilkreises

U 1

wähle ich

γ

γ =

180°

- α - β

durch das gleichschenklige Dreieck komme ich auf:

\frac{A B}{2} = sin (\frac{γ}{2}) \cdot R \Leftrightarrow

Strecke

A B = 2 \cdot sin (\frac{γ}{2}) \cdot R

Bzw:

A B = 2 \cdot R \cdot sin (\frac{180 - α - β}{2})

Der Winkel von der x-Achse zur Geraden

A B

erhalte ich mit

δ =

90°

- (

90°

- \frac{γ}{2} - β) = \frac{γ}{2} + β = \frac{180 - α + β}{2}

damit kann ich Punkt

B

berechnen:

y B = sin (δ) \cdot A B = sin (\frac{180 - α + β}{2}) \cdot 2 \cdot R \cdot sin (\frac{180 - α - β}{2})

x B = cos (δ) \cdot A B = cos (\frac{180 - α + β}{2}) \cdot 2 \cdot R \cdot sin (\frac{180 - α - β}{2})

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Daraus kann ich nun die Lage von A bestimmen:

Strecke

A B = S W

ist ja schon bekannt
Der Winkel

α

von

S W

zur x-Achse ebenfalls

y A = y B + sin (α) \cdot S W = sin (\frac{180 - α + β}{2}) \cdot 2 \cdot R \cdot sin (\frac{180 - α - β}{2}) + sin (α) \cdot S W

x A = x B - cos (α) \cdot S W = cos (\frac{180 - α + β}{2}) \cdot 2 \cdot R \cdot sin (\frac{180 - α - β}{2}) - cos (α) \cdot S W

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Was wissen wir nun:

Geradenverlauf von

S 1

(siehe Berechnung oben)
Punkt A (siehe Berechnung oben)
Radius von Kreis "U2" (Vorgabe)
Kreis "U2" liegt tangential auf Gerade von

S 1

(Vorgabe)
Strecke

S 2

liegt tangential am Kreis "U2" an (Vorgabe)

Würden wir

S 2 + U 2

vereinfacht als eine Gerade

A D

darstellen und nehmen wir an es würde folgende Bedingung gelten:

A D = U 1 + S 1,

so gäbe es doch für 0°

> α >

90° und 0°

> β >

90° immer zwei Lösungen ?!?
Ziehen wir den Kreis "U2" noch mit in das Geschen ein so kann die Gerade

S 2

den Kreis jeweils an zwei punkten tangieren

\Rightarrow 4

Lösungen ?

soweit meine Theorie. Was ist falsch dran, oder ist das der richtige Weg? und wie mache ich weiter? Alle meine weiteren Versuche führen ins Nirvana.

anonymous

17:40 Uhr, 19.01.2013

leider gehst du auf meine Antwort nicht ein.
Egal was du auch rechnest, unter den von dir genannten Vorgaben liegt nur der Weg A-B-C eindeutig fest.
Wenn du zwei weitere Vorgaben machst (k=s1+U1=s2+U2 sowie s2), dann liegt die Figur eindeutig fest.
Gruß irrsinn07

anonymous

19:19 Uhr, 19.01.2013

Mh nun ja ich bin immer noch der Meinung dass durch meine Vorgabewerte die Figur schon eindeutig fest liegt. Mit

k

würde sie überbestimmt werden bzw. kann

k

nicht frei gewählt werden.

Trotzdem möchte ich mich für irrsinn07's Hilfeversuche bis hierher bedanken. Ich habe die Aufgabe auch noch auf MatheBoard gestellt. riwe scheint schon des Rätsels Lösung gefunden zu haben, jetzt muss das nur noch ich checken.
http//www.matheboard.de/thread.php?postid=1736280#post1736280

Hinweis: Ich markiere das hier jetzt mal als gelöst, auch wenn ich die Lösung noch nicht habe.

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