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Begrenzung von Flächen durch Tangenten & Normale

Schüler Realschule, 7. Klassenstufe

Tags: Fläche, Integral, Normal, Tangent

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21:44 Uhr, 26.06.2013

Hallo :-)

Ich mache Mathehausaufgaben, jedoch verstehe ich nicht was genau ich machen soll.

Bei aufgabe

13

weiß ich dass die Skizze ungenau ist, bei

a)

ist

z = 3,5

Danke schön für die Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

21:54 Uhr, 26.06.2013

Du sollst offensichtlich den Flächeninhalt zwischen den Graphen von zwei Funktionen berechnen. Grenzen sind hier 0 und

3,5

bzw.

3,5

und 4.
Allgemein

\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x

oder die Flächen einzeln berechnen und dann subtrahieren.

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21:56 Uhr, 26.06.2013

Wie mache ich das bei

b)

?
Da ist ja

m

und

z

unbekannt.

Respon

22:01 Uhr, 26.06.2013

z

bedeutet in deiner Aufgabe die x-Koordinate des Schnittpunktes. Ist

m

vorerst unbekannt, so muss der Schnittpunkt eben mit dem unbekannten

m

ausgedrückt werden.
Man rechnet dann allgemein die beiden besagten Flächen aus ( mit dem unbekannten

m)

und setzt diese beiden Terme gleich. Daraus läßt sich dann

m

bestimmen.

Respon

22:20 Uhr, 26.06.2013

Grafik zu

13 a

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22:29 Uhr, 26.06.2013

Genau das habe ich raus.
Bei dem roten beim

7,145

FE

Ich hab

b)

nicht richtig verstanden. wie ich die Abhängigkeit aus drücken soll..

Respon

22:33 Uhr, 26.06.2013

b)

Da gibt es einige Möglichkeiten.

z . B

y = - {(x - 2)}^{2} + 4

und

y = m \cdot x

(m

ist vorerst unbekannt )
Die x-Koordinate des Schnittpunktes berechnen.

- {(x - 2)}^{2} + 4 = m \cdot x

x = ... . .

.
Kannst du mal zur Kontrolle ausrechnen

Respon

22:46 Uhr, 26.06.2013

Weitere Möglichkeit
Allgemein bei der ersten Fläche mit den Grenzen 0 und

z

rechnen, bei der zweiten Fläche

z

und 4.
Das liefert ebenfalls

m

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22:51 Uhr, 26.06.2013

\int_{0}^{z} f (x) d x

und

\int_{z}^{4} g (x) d x

Wie kriege ich dann m?

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22:57 Uhr, 26.06.2013

Beim ersten habe ich

z^{2} + 4 z

beim zweiten habe ich

\frac{m}{2} \cdot 16 - \frac{m}{2} \cdot z^{2}

Respon

22:57 Uhr, 26.06.2013

Nein, so ist das nicht.
Rote Fläche

\int_{0}^{z} (- {(x - 2)}^{2} + 4 - m \cdot x) d x

Das entspricht obere Fläche minus unterer Fläche. Oben ist die Parabel, unten ist die Gerade.

Blaue Fläche

\int_{z}^{4} (m \cdot x + {(x - 2)}^{2} - 4) d x

Das entspricht ebenfalls obere Fläche minus unterer Fläche. Oben ist hier die Gerade, unten die Parabel.

Diese beiden Integrale ausrechnen

(m

und

z

muss man dabei "mitschleppen" ) und die Ergebnisse gleichsetzen. Dann müsste sich

z

"in Luft auflösen" und man kann

m

berechnen.

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23:09 Uhr, 26.06.2013

m = - \frac{4}{3}

Stimmmt das ?

Respon

23:10 Uhr, 26.06.2013

Ein negativer Anstieg ist nicht möglich ( siehe Grafik ).

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23:13 Uhr, 26.06.2013

Stimmt, ich muss es noch in Betrag machen

also

m = \frac{4}{3}

Respon

23:15 Uhr, 26.06.2013

Passt

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23:19 Uhr, 26.06.2013

Vielen Dank.

Bei der

14

muss ich nicht für

y 288

einsetzten?

Oder was soll ich beim Integral für a und

b

einsetzten?

Respon

23:23 Uhr, 26.06.2013

Um die Fläche zwischen Graph der Parabel und der

x -

Achse zu erhalten, müssen wir vorerst die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse bestimmen.
also

y = - x^{2} + t \cdot x

0 = - x^{2} + t \cdot x

x = . .

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23:25 Uhr, 26.06.2013

Wenn ich nach

x

auflöse kriege ich

\sqrt{t \cdot x}

Respon

23:30 Uhr, 26.06.2013

Nein, so geht das nicht.

- x^{2} + t \cdot x = 0

Das ist eigentlich eine quadratische Gleichung

(z . B

. mit der pq-Formel auflösen ).
Leichter geht es aber so:

- x^{2} + t \cdot x = 0

- x \cdot (x - t) = 0

Ein Produkt ist

0,

wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
Also

- x = 0 \Rightarrow x = 0

x - t = 0 \Rightarrow x = t

D . h

die Parabel schneidet die x-Achse an der Stelle 0 und

t

. Das sind dann auch die Grenzen des Integrals.

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23:35 Uhr, 26.06.2013

Ich habe nun:

- \frac{1}{3} \cdot t^{3} + \frac{t}{2} \cdot t^{2} = 288

Wie löse ich nach

t

auf?

Respon

23:36 Uhr, 26.06.2013

\frac{t}{2} \cdot t^{2} = \frac{t^{3}}{2}

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23:40 Uhr, 26.06.2013

Müsste es nicht

\frac{t^{3}}{3}

heißen?

Und wie komm ich auf t?

Respon

23:42 Uhr, 26.06.2013

- \frac{t^{3}}{3} + \frac{t}{2} \cdot t^{2} = 288

- \frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{3}}{2} = 288

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23:52 Uhr, 26.06.2013

Entschuldige ich weiß ich nerve,
aber wie bekomme ich

t

raus.

Kann man überhaupt nach

t

auflösen?

Respon

23:55 Uhr, 26.06.2013

- \frac{t^{3}}{3} + \frac{t}{2} \cdot t^{2} = 288

- \frac{t^{3}}{3} + \frac{t^{3}}{2} = 288

- \frac{2 \cdot t^{3}}{6} + \frac{3 \cdot t^{3}}{6} = 288

\cdot 6

- 2 \cdot t^{3} + 3 \cdot t^{3} = 1728

t^{3} = 1728

t = . .

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00:02 Uhr, 27.06.2013

Vielen vielen Dank für deine Hilfe!

Respon

00:02 Uhr, 27.06.2013

Wie groß ist

t

anonymous

19:26 Uhr, 12.12.2016

Ich hänge bei der gleichen Aufgabe, Fläche Rot habe ich berechnet bekommen, wie funktioniert die Berechnung jedoch bei Fläche Blau ?

Sehr dankbar für Hilfe! :-)

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