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Die Steigung der Funktion an Stelle x0 berechnen

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Differentialquotient

LenaMueller aktiv_icon

12:05 Uhr, 09.02.2013

Hey..
ich versuch gerade meine Mathehausaufgaben zu machen aber scheitere total daran!

Ich soll die Steigung der Funktion an der Stelle

x_{0}

berechnen mit der

h

−Methode

f (x) = lim \frac{f (x_{0} + h)}{h}

h

→ 0

Hier sind die 4 Aufgaben:

a) f (x) = \frac{1}{x^{2}}, x_{0} = 1

→ SO hier habe ich die Kurzformel von

h

angewender also:

\frac{1}{x^{2}} = x - 2 \to - 2 x^{- 3}

ich würde es dann so in die h-Methode einsetzen:

m = lim \frac{(- 2 x + h) - 3 - (- 2 x - 3)}{h}

h \to 0

so und ab diesem Punkt komm ich nicht weiter...

b) f (x) = \sqrt{x}, x_{0} = 2

bei dieser aufgabe weiß ich nicht was ich machen soll..

c) f (x) = 2 x 2 + 3 x, x_{0} = 3

m = lim \frac{{(2 x + h)}^{2} + (3 x + h) - (2 x^{2} + 3 x)}{h}

h \to 0

ist es richtig? wenn ja wie mach ich weiter?

d) f (x) = x^{3} - x^{2} + x - 1, x_{0} = 2

hier würde ich es so machen:

m = lim \frac{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} + (x + h) - 1 - (x^{3} - x^{2} + x)}{h}

h \to 0

was mich bei deiser aufgabe irriterrt ist das man eigentlich auch eine Polynomdivison machen könnte ich war mir aber nicht sicher ob ich es in dem fall darf...

So das waren die Aufgaben ich hoffe sehr, dass ihr mir weiter helfen könnt
LG Lena

< 3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

LenaMueller aktiv_icon

14:53 Uhr, 09.02.2013

Hat keiner eine Idee?

prodomo aktiv_icon

15:24 Uhr, 09.02.2013

Ich hatte dir ein Beispiel komplett als Muster gerechnet. Es ist kein feiner Zug, dann einen neuen Thread aufzumachen, damit dir jemand anders noch den Rest erledigt. Das hier ist KEIN Hausaufgabendienst ! Davon abgesehen lernst du so nichts dazu

. .

LenaMueller aktiv_icon

15:39 Uhr, 09.02.2013

ICH MACH MEINE HAUSAUFGABEN SELBER!!
ICH HABE KEINEN DAZU GEZWUNGEN IRGENDETWAS FÜR MICH ZU MACHEN!!
ICH WOLLTE NUR WISSEN OB DAS WAS ICH BISHER GEMACHT HABE RICHTIG IST UND SONST GAR NICHTS!!! ICH WEIß WANN ICH ETWAS LERN UND WANN NICHT UND VON DIR KANN ICH NICHTS LEREN!!! WEIL DU ANSCHEINEND NICHT MIT LEUTEN UMGEHEN KANNST! UND LES NOCHMAL WAS ICH GESCHRIEBEN HABE ICH HABE SOWEIT WIE ICH KONNTE GERECHNET UND DANN WUSSTE ICH NICHT MEHR WEITER UND HABE ES HIER REINGESTELLT DAMIT MIR JEMAND HELFEN KANN UND NICHT DASS MICH JEMAND HIER BLOß STELLT!! WENN ICH DAS GEWUSST HÄTTE DAS MAN HIER SO BEHNADELT WIRD HÄTTE ICH MICH HIER NIE ANGEMELDET!!!
DANKE FÜR GAR NICHTS

MBstudent aktiv_icon

15:57 Uhr, 09.02.2013

Hi,

so bin jetzt zwar nicht im Thema drin, schau dir aber mal diesen Link an: www.mathe1.de/mathematikbuch/funktionen_hmethode_169.htm

Ich hoffe das hilft dir ein wenig

LenaMueller aktiv_icon

16:00 Uhr, 09.02.2013

Vielen dank für deine bemühungen MBstundent :-)
aber leider es hat mir nicht wirklich geholfen ich möchte eigentlich nur wissen ob meine ansätze richtig sind..
vielen dank kussi

prodomo aktiv_icon

16:16 Uhr, 09.02.2013

Hallo Lena, nun reg dich mal wieder etwas ab. Du hast bei der ersten Aufgabe genau dieselben Fragen wieder gestellt wie im ersten Thread und auch dieselben Fehler eingebaut. Ich weiß noch, dass die Aufgabe eigentlich

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

hieß. Das Hochzeichen und der Bruchstrich sind dir irgendwie durchgerutscht, jedenfalls erscheint auf meinem Schirm

f (x) = 1 x 2

. Damit kann niemand etwas anfangen.
Wenn du mit dem ersten voll durchgerechneten Beispiel nicht zurechtkommst, stelle eine Rückfrage, aber öffne keinen neuen Thread, das macht einen schlechten Eindruck

(s

. Forenregeln).

LenaMueller aktiv_icon

16:19 Uhr, 09.02.2013

Ja tut mir leid dass ich mich so aufrege aber du stellst mich da als ob ich von euch verlangen würde das ihr meine hausaufgaben macht obwohl das gar nicht so ist

: (

und das hat mich eben verletzt!

MBstudent aktiv_icon

16:28 Uhr, 09.02.2013

Okay, so ich habe da ein paar Probleme was deine funktionen angeht, sagst einfach ob die richtig wieder gegeben sind.

a) f (x) = 1 x^{2}, x 0 = 1

f (x) = x^{2}

2 . f (x + h) = {(x + h)}^{2} = (x + h) \cdot (x + h) = x^{2}

+2hx+

h^{2}

3 . f (x + h) - f (x) =

2hx+

h^{2}

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = 2 x + h

lim h \to 0 = 2 x

Jetzt setzt du deinen

x 0

Wert ein und erhältst

2 \cdot 1 = 2

Soweit die Methode, hoffe das ist soweit verständlich (musst nur andere Fkt. einsetzten)

b)

Wurzel

x

kannst du auch als

x^{0,5}

schreiben.

c) f (x) = 2 x^{2} + 3 x, x 0 = 3

= 2 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) = 2 x^{2}

+4hx+

2 h^{2} + 3 x + 3 h

3. = 4hx+

2 h^{2} + 3 h

4 . = 4 x + 2 h + 3

5 . h \to 0 = 4 x + 3

Hoffe diese beiden Aufgaben zeigen dir ob die Anstätze richtig sind, notfalls mal etwas ausführlicher rechnen ;-)

LenaMueller aktiv_icon

16:40 Uhr, 09.02.2013

Ich habe gemerkt das so manches falsch geschrieben wurde von meinen funktionen hab das nun alles verbessert

LenaMueller aktiv_icon

16:47 Uhr, 09.02.2013

wieso fällt bei

c)

in der 2.Gleichung das

2 x^{2}

und das

3 x

weg? das versteh ich nicht?!

und wieso ist es falsch statt

2 {(x + h)}^{2} | {(2 x + h)}^{2}

zu schreiben?

\frac{:}{}

bin verwirrt

MBstudent aktiv_icon

17:15 Uhr, 09.02.2013

erstens, du rechnest

f (x + h) (2 .) - f (x) (1 .),

daher fällt

2 x^{2} + 3 x

weg,
zweitens, setzt du bei 2. für

x \to (x + h)

ein, daher nicht

{(2 x + h)}^{2}

sondern

2 {(x + h)}^{2}

LenaMueller aktiv_icon

17:24 Uhr, 09.02.2013

Okay danke hab ich jetzt verstanden, die lösung ist doch

15

stimmts?

wie verfahre ich den bei dem letzten beispiel also bei

d)

sind da meine ansätze denn richig?

MBstudent aktiv_icon

17:28 Uhr, 09.02.2013

4 x + 3, x 0 = 3 \to 4 \cdot 3 + 3 = 15,

passt also, die sind soweit richtig, musst nur in der letzten Klammer auch

+ 1

rechnen, dann die Klammern auflösen,

h

rauskürzen und

X 0

einsetzen.

LenaMueller aktiv_icon

17:33 Uhr, 09.02.2013

Okay ich werde es nun rechnen und dann sagen was ich raus habe

LenaMueller aktiv_icon

17:51 Uhr, 09.02.2013

d) \frac{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} + (x + h) - 1 - (x^{3} - x^{2} + x + 1)}{h}

= 3 h \cdot x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h \cdot x + h^{2} + x + h - 3 + x^{2}

sieht irgendwie falsch aus bis jetzt?!

MBstudent aktiv_icon

23:10 Uhr, 09.02.2013

nach Abzug von

f (x)

erhälst du:

3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 h x - h^{2} + h,

jetzt kürzt du

h

heraus und bekommst:

3 x^{2} + 3 h x + h^{2} - 2 x + 1,

nun

n \to 0 \Rightarrow 3 x^{2} - 2 x + 1

(musstest in der Klammer doch

- 1

rechnen) Konstanter y-Achsenabschnitt spielt bei der Steigung keine Rolle, fällt daher weg

prodomo aktiv_icon

09:29 Uhr, 10.02.2013

Hallo Lena, die letzte Aufgabe scheint jetzt erledigt. Gehe noch einmal zu

f (x) = \sqrt{x},

weil bei diesem Typ (wie auch bei

\frac{1}{x^{2}})

noch einige Umformungstricks mitspielen.

f' (2) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 + h} - \sqrt{2}}{h}

. Hier kann man das

h

zunächst nicht kürzen, weil es nur unter der Wurzel vorkommt und Potenzrechnung vor Strichrechnung gilt. Du musst also die Wurzel beseitigen. Vielleicht erinnerst du dich an "Nenner rational machen" mit Hilfe der dritten binomischen Formel. Hier erweitert man mit

\sqrt{2 + h} + \sqrt{2}

und bekommt

lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{2 + h} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2 + h} + \sqrt{2})}{h \cdot (\sqrt{2 + h} + \sqrt{2})} = lim_{h \to 0} \frac{h}{h \cdot (\sqrt{2 + h} + \sqrt{2})} = lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 + h} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

. Wenn du allgemein

x_{0}

statt der gegebenen 2 benutzt, ergibt sich entsprechend

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x_{0}}},

was der Kurzform

\frac{1}{2} \cdot x_{0}^{- 0,5}

entspricht. Alles klar jetzt ?

LenaMueller aktiv_icon

12:23 Uhr, 10.02.2013

Ja :-) hab jetzt alles verstanden danke euch beiden :-)

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