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Grenzwerte von konvergenten Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

CrazyEight aktiv_icon

09:20 Uhr, 22.05.2015

Habe Folgende Aufgaben.

a) \sum_{k = 5}^{\infty} \frac{2}{k (k - 1)}

b) \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{4 k^{2} - 1}

c) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k (k + 1) (k + 2)}

d) \sum_{k = 3}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{3^{k}}

Dazu noch den Hinweis: Finden Sie eine geeignete Darstellung der Partialsummen durch Partialbruchzerlegung und Indexverschiebung
(Teleskopsummen)

Habe mir jetzt zur 1 und 2 überlegt die könnt ich ja beide male mit dem minorantenkrit. vorgehen also:

a) \frac{2}{k (k - 1)} = \frac{2}{k^{2} - k} > \frac{2}{k^{2}} = 2 \cdot \frac{1}{k^{2}}

konvergiert nach Minorantenkrit.

b) \frac{1}{4 k^{2} - 1} > \frac{1}{4 k^{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{k^{2}}

konvergiert nach Minorantenkrit.

bin mir jetzt aber da nicht sicher das erscheint mir zu simpel :-D) und iwie verwirrt mich das auch ein bissl mit dem index der ist ja beide male nicht 1. Muss ich vielleicht erst mal eine Indexverschiebung machen und wenn ja wie?

Und bei der

c

und

d

weiss ich iwie auch nicht so ganz weiter würde bei der

c

jetzt unten ausmultiplizieren und dann nach dem Majorantenkriterium vorgehen aber hab da kein gutes gefühl bei.

Danke schonmal im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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09:31 Uhr, 22.05.2015

Mit Minoranten kann man keine Konvergenz zeigen, sondern nur Divergenz.

Diese Reihen alle konvergieren, das kann man mit Majoranten zeigen.
Die Majoranten sind (z.B., da gibt's bestimmte Willkür):
a)

\frac{4}{k^{2}}

,

b)

\frac{2}{4 k^{2}}

,

c)

\frac{1}{k^{3}}

,

d)

\frac{1}{3^{k}}

.

Aber da in der Aufgabe nicht nach Konvergenz gefragt ist, sondern danach, die Reihen zu berechnen, musst Du das sowieso anders machen.

Z.B. a):

\sum_{k = 5}^{n} \frac{2}{k (k - 1)} = \sum_{k = 5}^{n} (\frac{2}{k - 1} - \frac{2}{k}) = \frac{2}{4} - \frac{2}{n} \to 0.5

bei

n \to \infty

CrazyEight aktiv_icon

09:35 Uhr, 22.05.2015

ja ich sehs grad selber da steht ja man soll den grenzwert berechnen und nicht konvergenz nachweisen ( dumm von mir )
hatten nur jetzt gerade im tutorium das mit den kriterien und da sind bei mir jetzt erst mal alle lichter angegangen...

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09:42 Uhr, 22.05.2015

aber wie kommt man denn darauf dass

\frac{2}{k (k - 1)} = \frac{2}{k - 1} - \frac{2}{k} = \frac{2}{4} - \frac{2}{n}

???

DrBoogie aktiv_icon

09:49 Uhr, 22.05.2015

Nur die erste Gleichung ist richtig, die zweite ist Quatsch, so steht es bei mir nicht.

Man kommt darauf, wenn man den Hinweis sieht: Teleskopensumme. Vermutlich weißt Du einfach nicht, was es heißt.

CrazyEight aktiv_icon

09:53 Uhr, 22.05.2015

Naja habs jetzt schon gehört aber wirklich was darunter vorstellen kann ich mir nicht da hast du recht

DrBoogie aktiv_icon

09:54 Uhr, 22.05.2015

Kuck hier:
http//en.wikipedia.org/wiki/Telescoping_series

DrBoogie aktiv_icon

09:56 Uhr, 22.05.2015

Und auch hier (Beispiele sind etwas unterschiedlich, deshalb lohnt es sich, beide zu kucken):
http//de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme

CrazyEight aktiv_icon

10:07 Uhr, 22.05.2015

Ah also so wie ich das jetzt verstanden habe machst du erst eine Partialbruchzerlegung um die Teleskopsumme zu erkennen also ergibt sich

\frac{2}{k - 1} - \frac{2}{k}

und dann kannst du die teleskopsumme anwenden indem du für

\frac{2}{k - 1}

das

k = 5

setzt (wegen des index) woraus sich dann das

\frac{2}{4}

ergibt und

\frac{2}{k}

wird für

k = n

\frac{2}{n}

DrBoogie aktiv_icon

10:12 Uhr, 22.05.2015

Ja. Obwohl in den ersten zwei Beispielen man die Partialbruchzerlegung sofort sieht, wenn man etwas geübt ist. Im dritten ist das schon schwieriger, da muss man normalerweise wirklich die Partialbruchzerlegung berechnen.

DrBoogie aktiv_icon

10:14 Uhr, 22.05.2015

Und in d) braucht man keine Teleskopsummen, das ist eine einfache geometrische Reihe.

CrazyEight aktiv_icon

10:35 Uhr, 22.05.2015

ok danke ich versuch mal mein glück

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