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Kommt das Auto durch die Brücke?

Schüler

Tags: Parabel

JanukKunis aktiv_icon

14:59 Uhr, 02.02.2014

Hallo,

ich habe die Aufgabe aus dem Anhang. Leider verstehe ich überhaupt nicht, wie ich das rechnen soll. Ich würde mich total über ein vorrechnen beziehungsweise eine Erklärung freuen.

Liebe Grüße und herzlichen Dank ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

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pleindespoir aktiv_icon

15:01 Uhr, 02.02.2014

Zuallererst ein Koordinatensystem drüberlegen und dessen Ursprung festlegen

prodomo aktiv_icon

15:02 Uhr, 02.02.2014

Von vorne oder hinten gesehen nimmt das Fahrzeug ein Rechteck von

2,2 m

Höhe und

3 m

Breite ein. Wenn es in der Mitte fährt, braucht es also

1,5 m

nach beiden Seiten. Ermittle die Gleichung der Parabel und prüfe, wie hoch sie bei

x = 1,5

bzw.

x = - 1,5

ist !

pleindespoir aktiv_icon

15:04 Uhr, 02.02.2014

Womit prodomo den didaktisch wertvollen Schritt der Ursprungsfestlegung bereits übersprungen hat ...

JanukKunis aktiv_icon

15:16 Uhr, 02.02.2014

Mein Lehrer hat das wie folgt gelöst:

f (x) = a x (x - 4)

b = a . 2 (2.4 = > a = - 1.5

f (x) = - 1.5 x (x - 4)

= -1.5x²

+ 6 x

f (0.5) = 2.625

Ich verstehe einfach nicht, was hier gemacht wurde.

prodomo aktiv_icon

15:22 Uhr, 02.02.2014

@pleindespoir: Bei der vorgegebenen Zeichnung müsste eigentlich jeder intuitiv auf die Nutzung der Achsensymmetrie kommen. Offenbar denkt auch der Fragesteller so, denn die Nutzung der Nullstellen 0 und 4 ist für ihn keine Hilfe, sondern ein Hindernis....

pleindespoir aktiv_icon

15:38 Uhr, 02.02.2014

"müsste eigentlich jeder intuitiv"

tut aber nicht jeder ...

... und bevor da rumgeformelt wird, sollte man sich da schon mal Gedanken drüber machen.

Aber hören wir mal, was der Fragesteller dazu meint ...

JanukKunis aktiv_icon

15:56 Uhr, 02.02.2014

Würde das gerne mit der Methode meines Lehrers verstehen, weil diese ja dann auch in der Arbeit angewandt werden muss :-)

pleindespoir aktiv_icon

16:05 Uhr, 02.02.2014

Ohne den Lehrer zu kennen, nehme ich mal an, dass er die Fahrbahnfläche als Nullinie angenommen hat.

Der Schnittpunkt des einen Brückenansatzes mit der Strasse hat er als x=0 festgelegt.

Es gäbe aber auch mindestens 2 weitere Festlegungen des Koordinatenursprunges, um halbwegs zweckmässig weiterzurechnen und etwa unendlich viele weniger sinnvolle Annahmen.

MarkioWeber15 aktiv_icon

18:21 Uhr, 03.02.2014

Ich kann leider nicht viel zu der Aufgabe beitragen, da ich Sie leider nicht mal im Ansatz verstehe.

Das Rätsel beginnt für mich im ersten Schritt. In welche Formel wurde die Breite der Brücke eingesetzt? Danach taucht plötzlich ein "B" auf. Würde mich sehr über einen Lösungsansatz freuen, gerne auch über ein erklärte vorrechnen.

Liebe Grüße und herzlichen Dank, für eure Mühe!!!!

JanukKunis aktiv_icon

18:41 Uhr, 03.02.2014

Kann Markio nur zustimmen.

Eva88 aktiv_icon

18:45 Uhr, 03.02.2014

Ok, dann alles mal von vorne. Als erstes lege ich die Parabellfunktion in ein Koordinatensystem.

Klar soweit ?

Eva88 aktiv_icon

18:53 Uhr, 03.02.2014

Jetzt bestimme ich 3 Punkte, die auf der Parabell liegen.

P = (- 2 | 0)

und

Q = (0 | 6)

und

R = (2 | 0)

.

Eine allg quadr. Gleichung heißst

: a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

Jetzt die 3 Punkte da einsetzen.

Atlantik aktiv_icon

19:10 Uhr, 03.02.2014

Diese Aufgabe lässt sich leicht mit der Scheitelpunktsform der Parabel lösen:

f_{a} (x) = a \cdot {(x - x_{s})}^{2} + y_{s}

S (0 | 6)

f_{a} (0) = a \cdot {(x - 0)}^{2} + 6

f_{a} (x) = a \cdot x^{2} + 6

Nun liegt der Punkt

N (2 | 0)

auf der Parabel:

f_{a} (2) = a \cdot 2^{2} + 6 = 4 a + 6

f_{a} (2) = 0

4 a + 6 = 0

a = - \frac{3}{2}

f (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 6

Die Fahrzeughöhe beträgt 2,20m->Gerade

g : y = 2,20

Schnittpunkte von

f (x)

und

g :

- \frac{3}{2} x^{2} + 6 = 2,20

x_{1} \approx - 1,6

x_{2} \approx 1,6

| - 1,6 | + 1,6 = 3,2

Da die Fahrzeugbreite

3 m

beträgt, passt es durch.

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

pleindespoir aktiv_icon

19:14 Uhr, 03.02.2014

Ich könnte auch noch einen Lösungsweg beisteuern, der zur Verwirrung des Fragestellers beiträgt und vermeidet, dass er jemals verstehen wird, wie man grundsätzlich systematisch an solche Aufgabenstellungen herangeht.

Soll ich ?

Eva88 aktiv_icon

19:21 Uhr, 03.02.2014

Da Atlantik mal wieder gleich alles gepostet hat, werden die nie die einzelnen Schritte gegreifen.

Femat aktiv_icon

19:25 Uhr, 03.02.2014

Ich würde das so lösen

pleindespoir aktiv_icon

19:35 Uhr, 03.02.2014

Hat noch jemand einen fertigen Lösungsweg ohne Erklärung?

JanukKunis aktiv_icon

19:45 Uhr, 03.02.2014

Ich finde es wirklich klasse, dass hier Menschen ihre Freizeit opfern um Mathe Idioten wie mir zu helfen. Dafür schon mal vielen herzlichen Dank an jeden, der hier hilft beziehungsweise geholfen hat ;-)

Der Lösungsweg meiner Lehrerin erscheint mir sehr kurz und übersichtlich. Ich würde den sehr gerne verstehen, da dies auch die Aufgabe war.

Der Thread hat mich als Schüler auf Realschul Niveau leider eher verwirrt. Viele verschiedene Ansätze, viele unbekannte Lösungswege etc.

pleindespoir aktiv_icon

19:53 Uhr, 03.02.2014

Dann such dir jetzt einen von den Beantwortungswilligen heraus, der dir das so erklären soll, dass DU es verstehst ...

JanukKunis aktiv_icon

20:14 Uhr, 03.02.2014

Das steht mir nicht zu dies zu entscheiden. Ich würde mich sehr über Hilfe freuen und wenn mir das jemand nach dem Lösungsweg meiner Lehrerin beantworten könnte. Also wer Lust und Zeit hat, würde mir einen Gefallen erweisen :-)

Dankeschön!

Atlantik aktiv_icon

06:47 Uhr, 04.02.2014

Deine Lehrerin hat die Aufgabe über die Nullstellenform der Parabel gelöst:

f_{a} (x) = a \cdot (x - x_{N_{1}}) \cdot (x - x_{N_{2}})

Nullstellen hast du nun bei

N_{1} (0 | 0)

und

N_{2} (4 | 0)

f_{a} (x) = a \cdot (x - 0)) \cdot (x - 4)

f_{a} (x) = a \cdot x \cdot (x - 4)

Nun benötigst du noch einen Punkt, der auf der Parabel liegt. Es ist dies der Scheitel

S (2 | 6)

f_{a} (2) = a \cdot 2 \cdot (2 - 4)

f_{a} (2) = - 4 a

f_{a} (2) = 6

- 4 a = 6

a = - \frac{3}{2}

f (x) = - \frac{3}{2} \cdot x \cdot (x - 4)

f (x) = - 1,5 \cdot x^{2} + 6 x

Wenn der Fahrer nun in der Mitte der Fahrbahn fährt, so liegt die äußerste Begrenzung seines Fahrzeugs über

R (0,5 | 0) :

f (0,5) = - 1,5 \cdot {0,5}^{2} + 6 \cdot 0,5 = 2,625

Da nun das Fahrzeug

2,20 m

hoch ist, passt es durch.

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

JanukKunis aktiv_icon

11:40 Uhr, 04.02.2014

Super Antwort ;-) Jetzt habe ich das verstanden. Nullstellenform hieß bei uns glaub Nullstellenansatz?

Jetzt werde ich fleißig üben, damit sich eure tolle Hilfe auch gelohnt hat.

Viele liebe Grüße ;-)

aleph-math aktiv_icon

15:57 Uhr, 04.02.2014

Servus!

".. hab ich verstanden".
Das ist schön, ich möcht dir jedoch Mut machen, (auch) eigene Wege (=Lösg) zu gehen. D. Lehrer-Methode ist eine Möglichk., aber nicht d. einzige. Es ist keinesw. Pflicht, nur seine/ihre Lösg. zu verwenden. Wer darauf besteht, ist ein schlechter Lehrer!

"Atlantik" hat d. entscheidenden Hinweis gegeben; Linearfaktoren (das ist d. korrekte mathem. Bezeichng) nach einem Hauptsatz d. Mathem.:
"Jede ganzrationale Fkt. kann durch ein Polynom vom Grad n dargestellt werden u. hat n Lösg. (Nullstellen), die jedoch doppelt o. nicht reell sein können. - Sind umgekehrt d. Nullst.

x_{i}

bekannt, stellt d. Produkt d. Linearfakt.

\prod_{i = 1}^{n} (x - x_{i})

d. Polynom dar."
(sinngemäß)

D. Methode ist elegant, noch eleganter wird sie, wenn d. Nullpkt entsprechend gewählt wird. Ihn in d. Mitte, dh. unter d. Scheitel zu setzen, ist nicht nur anschaulicher, sond. auch mathem. einfacher, worauf "prodomo" schon im 2. Beitrag hinwies. Es entfällt dann das lineare Glied, das quadr. muß negativ sein u. d. Konst. kann unmittelb. mit d. Scheitelhöhe identif. werden. D. Fkt (=Polynom) kann also direkt mit

f (x) = a x^{2} + 6

einers. u.

f (x) = a (x + 2) (x - 2) = a (x^{2} - 2^{2}) = a x^{2} - 4 a

anders. angegeben werden. Koeffizientenvgl. liefert dann ebenso unmittelb.

6 = - 4 a = > a = - 3 / 2 = - 1.5 = > f (x) = - 1.5 x^{2} + 6 .

Wie "prodomo" sagt, ist d. halbe Wagen 1,5 m breit, also gibt

f (1.5) = - 1 . 5^{3} + 6 = 6 - 3, 375 = 2, 625;

d. Wagen mit 2.20 Höhe geht also durch. Fertig!

Nochmal in ähnl. Form wie d. Lehrer(in):

f (x) = a x^{2} + 6 = a (x + 2) (x - 2) = a (x^{2} - 2^{2}) = a x^{2} - 4 a

f (x) = - 1.5 x^{2} + 6 = > f (1.5) = - 1 . 5^{3} + 6 = 2, 625 .

2.2 < f (1.5) = > W a g e n g e h t d u r c h . (q . e . d)

Das ist - mein ich - noch ein wenig knapper; zu knappe Lösg. haben allerd. oft d. Nachteil, wenig durchschaubar zu sein. Zeig d. Weg d. Lehrer(in), was er/sie dazu sagt. Ein guter Lehrer wird ein Lob aussprechen, wenn jmd sich erfolgreich mit d. Materie beschäftigt hat.

Alles Gute, fleißig üben & viel Erfolg! -GA

JanukKunis aktiv_icon

14:34 Uhr, 06.02.2014

Hallo aleph-math,

vielen Dank für deine tolle Lösung. Du hast vollkommen recht. Das ist auch mein Ziel, eigene Wege zu entwickeln und nicht nach Rezept zu rechnen. Leider befinde ich mich da aktuell in einer Sackgasse. Ich übe sehr viel, aber komme leider nie auf eigene Wege

; (

Wie lässt sich das am besten entwickeln?

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