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Konvergenz einer rekursiven Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, rekursive Folgen

vandunkelsing aktiv_icon

21:48 Uhr, 20.09.2017

Hallo zusammen :-)

ich sitze vor einem, wie ich glaube, recht einfachen Problem - komme aber trotzdem nicht weiter. Ich möchte gerne zeigen, dass

β (n + 1) = \frac{β (n) + s}{1 + g}

(für alle

β (0) > 0)

gegen

\frac{s}{g}

konvergiert?

Mein Ansatz war,

lim_{n \to \infty} β (n + 1) = lim_{n \to \infty} β (n)

zu setzen, wobei ich dafür wahrscheinlich erstmal Monotonie und Beschränktheit nachweisen müsste?

Aber im Grunde müsste es sehr einfach sein - im Paper, das ich gerade lese steht "it follows immediately" (ohne dass es weiter erklärt wird).

Könnt Ihr mir weiterhelfen? Dankeschön schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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pwmeyer aktiv_icon

09:12 Uhr, 21.09.2017

Hallo,

je nachdem, wo Du startest ist die Konvergenz monton fallend oder steigend. Einfacher ist es wohl, nachzurechnen, dass

β (n) = \frac{1}{{(1 + g)}^{n}} β (0) + \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{{(1 + g)}^{k}} \cdot \frac{s}{g}

Also im Endeffekt eine geometrische Reihe.

Gruß pwm

vandunkelsing aktiv_icon

12:45 Uhr, 21.09.2017

Hi pwm,

danke für deine Antowort.

Ich verstehe es allerdings noch nicht ganz (und bin auch kein Mathe-Profi). Ich versuche mich nur die ganze Zeit durch durch Foren und Anleitungen zu kämpfen, um weiterzukommen.

Nochmal kurz zu meinem Ansatz: Selbst, wenn ich annehmen würde, es gäbe einen Grenzwert, dann müsste ja

β (g) = \frac{β (g) + s}{1 + g}

gelten. Dann komme ich allerdings über

β (g) = (1 + g) \cdot β (g) + (1 + g) \cdot s

auf

β (g) = - \frac{s}{g} - s

Und leider nicht auf

\frac{s}{g}

Oder ich formuliere eine geometrische Bildungsvorschrift. Müsste die dann nicht

β (n) = \frac{1}{{(1 + g)}^{n}} \cdot β (0) + \sum_{k = 1}^{n} \frac{s}{{(1 + g)}^{k}}

heißen? Und was mache ich dann mit der?

Danke und LG

pwmeyer aktiv_icon

13:11 Uhr, 21.09.2017

Hallo,

den Schritt hinter "dann komme ich allerdings über" kann ich nicht nachvollziehen.
Es müsste doch sein:

(1 + g) \cdot β = β + s

Woraus

β = \frac{s}{g}

folgt.

Bei der Formel mit der Reihe habe ich einen Fehelr gemacht: Statt

\frac{s}{g}

muss es dort

\frac{s}{1 + g}

heißen, was dann Deine FRomel ist.

Lässt Du in dieser Formel

n

gegen

\infty

gehen, fällt der erste Term weg und der zweite gibt eine geometrische Reihe. Aus der Formel für geometrische Reihen folgt dann der Grenzwert

\frac{s}{g}

.

Gruß pwm

vandunkelsing aktiv_icon

15:57 Uhr, 21.09.2017

Hi pwm,

super, danke!

< 3

Mein Gedanke war,

β = \frac{β + s}{1 + g} \cdot \frac{1 + g}{1 + g}

zu rechnen, also die rechte Seite einfach mit 1 zu multiplizieren. Ich verstehe nicht ganz, warum das nicht zulässig ist - deine Variante ist auf jeden Fall viel sinnvoller.

Jetzt noch einmal zur Kontrolle:

Ich habe die rekursive Folge

β (n + 1) = \frac{β (n) + s}{1 + g},

deren Grenzwert ich berechnen will. Dafür betrachte ich die ersten Folgenglieder

β (1) = \frac{β (0) + s}{1 + g}

β (2) = \frac{β (1) + s}{1 + g} = \frac{β (0) + s}{1 + g} \cdot \frac{1}{1 + g} + \frac{s}{1 + g} = \frac{β (0)}{{(1 + g)}^{2}} + \frac{s}{{(1 + g)}^{2}} + \frac{s}{1 + g}

β (3) = \frac{β (2) + s}{1 + g} = (\frac{β (0)}{{(1 + g)}^{2}} + \frac{s}{{(1 + g)}^{2}} + \frac{s}{1 + g} + s) \cdot \frac{1}{1 + g} = \frac{β (0)}{{(1 + g)}^{3}} + \frac{s}{{(1 + g)}^{3}} + \frac{s}{1 + g^{2}} + \frac{s}{1 + g}

und erkenne dann, dass das Ganze eine Folge der Form

β (n) = \frac{β (0)}{{(1 + g)}^{n}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{s}{{(1 + g)}^{k}}

ist. (Muss ich das noch zeigen oder passt das so?)

Da ich ja den Grenzwert wissen will suche ich

lim_{n \to \infty} β (n) = lim_{n \to \infty} (\frac{β (0)}{{(1 + g)}^{n}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{s}{{(1 + g)}^{k}}) = 0 + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{s}{{(1 + g)}^{k}}

Jetzt sieht alles nach einer geometrischen Reihe der Form

\sum_{k = 0}^{\infty} q^{n}

aus, deshalb forme ich um und bekomme

= \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{{(1 + g)}^{k}} \cdot \frac{s}{1 + g} = \frac{s}{1 + g} \cdot \sum_{k = 0}^{n} {(\frac{1}{1 + g})}^{k}

Für

g > 1

gilt dann

q = \frac{1}{1 + g} < 1

und die Geometrische Reihe konvergiert gegen

\sum_{k = 0}^{\infty} q^{n} = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 - (\frac{1}{1 + g})}

= \frac{1 + g}{g}

und der gesamte Ausdruck von oben geht gegen

\frac{s}{1 + g} \cdot \frac{1 + g}{g}

= \frac{s}{g}

Sooo ungefähr?

LG Tim

vandunkelsing aktiv_icon

16:17 Uhr, 21.09.2017

Okay, mein Schritt oben war natürlich Quatsch.
Um den Nenner zu eliminieren hätte ich mit

\frac{\frac{1}{1 + g}}{\frac{1}{1 + g}}

multiplizieren müssen (und das hätte genau überhaupt nichts gebracht).

ermanus aktiv_icon

17:55 Uhr, 21.09.2017

Hallo,

hier ein anderer Zugang (vorausgesetzt

g > 0

∣ β (n) - \frac{s}{g} ∣ = ∣ \frac{β (n - 1) + s}{1 + g} - \frac{s}{g} ∣ = ∣ \frac{β (n - 1) g - s}{g (1 + g)} ∣ = \frac{1}{1 + g} \cdot ∣ β (n - 1) - \frac{s}{g} ∣

.
Hieraus folgt:

∣ β (n) - \frac{s}{g} ∣ = (\frac{1}{1 + g})^{n} ∣ β (0) - \frac{s}{g}) ∣ \to 0

für

n \to \infty

.

Gruß ermanus

vandunkelsing aktiv_icon

13:29 Uhr, 23.09.2017

Super, danke euch beiden!

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