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Leibnitz- und Majorantenkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen und Reihen, Grenzwert

mathepro1 aktiv_icon

13:28 Uhr, 10.12.2016

Hallo,

ich habe zwei Aufgaben, die mir Probleme bereiten.

Bei der ersten Reihe habe ich per Majorantenkriterium die abs. Konvergenz gezeigt. Um mit dem Leibnitz-Kriterium absolute Konvergenz zu zeigen, muss die Reihe nun umgeschrieben werden. Darauf komme ich eben nicht.

: (

Zur zweiten Reihe:
Wie zeige ich hier Divergenz oder Konvergenz mit dem Majorantenkriterium? Brauche nur einen Ansatz und nicht die Lösung.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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13:44 Uhr, 10.12.2016

"Um mit dem Leibnitz-Kriterium absolute Konvergenz zu zeigen, muss die Reihe nun umgeschrieben werden. "

Das geht grundsätzlich nicht. Leibnitz-Kriterium zeigt keine absolute Konvergenz!

DrBoogie aktiv_icon

13:46 Uhr, 10.12.2016

Im zweiten Fall nutze am besten:

(\sqrt[4]{k + 1} - \sqrt[4]{k}) (\sqrt[4]{k + 1} + \sqrt[4]{k}) (\sqrt{k + 1} + \sqrt{k}) = 1

mathepro1 aktiv_icon

13:48 Uhr, 10.12.2016

Ok, werde mal damit arbeiten. Natürlich meine nur Konvergenz bei der ersten Reihe.

Danke.

LG

ledum aktiv_icon

17:06 Uhr, 10.12.2016

Hallo
2. Reihe mir summe des Zählers erweitern, danach noch mal mir der Summe des Ergebnisses, dann Majorantenkrit.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

17:06 Uhr, 10.12.2016

Hallo
2. Reihe mir summe des Zählers erweitern, danach noch mal mir der Summe des Ergebnisses, dann Majorantenkrit.
Gruß ledum

mathepro1 aktiv_icon

17:07 Uhr, 10.12.2016

Und wie zeige beim ersten mit Leibnitz die Konvergenz?

ledum aktiv_icon

17:19 Uhr, 10.12.2016

Hallo
wenn was schon absolut konvergiert, warum dann noch das Leibnizkriterium?
Gruß ledum

mathepro1 aktiv_icon

17:20 Uhr, 10.12.2016

Steht in der Aufgabe.. Ich soll zeigen, dass es damit auch geht..

mihisu aktiv_icon

17:43 Uhr, 10.12.2016

Was sind denn die Werte für

cos (\frac{π}{2})

cos (2 \frac{π}{2})

cos (3 \frac{π}{2})

cos (4 \frac{π}{2})

cos (5 \frac{π}{2})

cos (6 \frac{π}{2})

⋮

Da kannst du doch bestimmt ein Muster erkennen.

mathepro1 aktiv_icon

00:00 Uhr, 11.12.2016

Hallo,

also die zweite Reihe habe ich geschafft. Die konvergiert.

Bei der ersten tu ich mir noch schwer. Das Muster ist eben, dass

0, - 1

und 1 auftreten. Meine Idee war jetzt

{(- 1)}^{k},

aber dann passen die Werte ja nicht mehr, denn

{(- 1)}^{2} = 1

und nach dem Muster wäre bei

k = 2

der cos-Ausdruck

- 1

.

Zu der neuen Reihe: Kann mir jemand einen kleinen Hinweis zum Abschätzen geben. Habe nach unter und oben abgeschätzt und kome einfach nicht auf was Bauchbares.

Schönen Abend noch,

Olaf

mihisu aktiv_icon

01:42 Uhr, 11.12.2016

Ich halte es für sinnvoll, wenn du für deine neue Reihe eine neue Frage aufmachst, oder zumindest abwartest, bis die vorigen Reihen geklärt sind. Sonst entsteht hier evtl. mehr Verwirrung als Klarheit, wenn alles durcheinander geht.

Also nochmal zur ersten Reihe mit Leibniz.

Wenn

k

eine ungerade Zahl ist, ist der Summand 0. Also kann man den Summanden in der Summe weglassen. Man braucht also nur gerade

k

zu betrachten. Also

k = 2 m

für

m \in ℕ

.
Also:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{cos (\frac{π}{2} k)}{k^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{cos (\frac{π}{2} \cdot 2 m)}{{(2 m)}^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{cos (m π)}{4 m^{2}}

Für ungerades

m

ist

cos (m π) = - 1 = {(- 1)}^{m}

. Für gerades

m

ist

cos (m π) = 1 = {(- 1)}^{m}

. Also ist

cos (m π) = {(- 1)}^{m}

für alle

m \in ℕ

.

Damit hat man also:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{cos (\frac{π}{2} k)}{k^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{cos (\frac{π}{2} \cdot 2 m)}{{(2 m)}^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{cos (m π)}{4 m^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{m}}{4 m^{2}}

Wenn du jetzt zeigst, dass

{(\frac{1}{4 m^{2}})}_{m \in ℕ}

monoton fallende Nullfolge ist, hast du die Konvergenz der Reihe nach Leibniz-Kriterium.

\\\\
Nun evtl. doch nochmal zur neuen Reihe, da du die ja jetzt hier schon gestellt hast.

\frac{\sqrt{2 k + \sqrt{k^{2} + 1}}}{k^{2}}

Eine kurze Überlegung, wie ich sie häufig bei der Untersuchung eine solchen Reihe mache:
Der Zähler wächst in etwa wie

\sqrt{k}

der Nenner in etwa wie

k^{2}

. Also verhalten sich die Summanden in etwa wie

\frac{\sqrt{k}}{k^{2}} = \frac{1}{k^{\frac{3}{2}}}

. Da

\frac{3}{2} > 1,

wird die Reihe wohl absolut konvergieren.
Ich veruche also die Summanden irgendwie mit

\frac{\sqrt{k}}{k^{2}}

abzuschätzen, also eine Majorante der Form

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{C}{k^{\frac{3}{2}}}

für eine Konstante

C

zu finden.

\frac{\sqrt{2 k + \sqrt{k^{2} + 1}}}{k^{2}} = \frac{\sqrt{k}}{k^{2}} \sqrt{2 + \sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}}

Schätze

\sqrt{2 + \sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}}

durch eine geeignete Konstante ab.

mathepro1 aktiv_icon

09:59 Uhr, 11.12.2016

Danke. Es gibt da noch ein Problem bei der Cosinus-Aufgabe. Angenommen ich setze

k = 2

. Dann habe ich im Zähler

- 1

und im Nenner

4,

also

- \frac{1}{4}

. Mit deiner Formel deckst Du doch nur postive Glieder ab, oder?

DrBoogie aktiv_icon

10:43 Uhr, 11.12.2016

"Mit deiner Formel deckst Du doch nur postive Glieder ab, oder? "

Da steht

(- 1)^{m}

und Du denkst, dass es nur positive Glieder sind? :-O

mathepro1 aktiv_icon

10:47 Uhr, 11.12.2016

Habe mich etwas unklar ausgedrückt. Ich will sagen: Bei der ursprünglichen Formel setze ich zB.

k = 2

und erhalte im Zähler

- 1,

Das ist jetzt nicht mehr möglich. Also verfälscht es doch die Aufsummierung.

DrBoogie aktiv_icon

11:00 Uhr, 11.12.2016

"Das ist jetzt nicht mehr möglich."

Wie nicht mehr möglich? :-O
In der neuen Aufsummierung entspricht dem Wert

k = 2

der Wert

m = 1

, denn

k = 2 m

.
Und

m = 1

liefert einen negativen Wert.
In der Reihe ändert sich doch gar nichts, wie schreiben sie nur anders auf.

mathepro1 aktiv_icon

11:41 Uhr, 11.12.2016

ok, verstanden. danke.

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