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Stammfunktion bilden

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Kettenregel, Produktregel, Stammfunktion

 
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kathi91

kathi91 aktiv_icon

13:31 Uhr, 20.04.2010

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Hallo..
ich wiederhole grade Analysis fürs Abi und bin auf eine Aufgabe gestoßen, deren Ergebnis zwar angegeben ist, die ich aber dennoch nicht lösen bzw. nicht auf dieses Ergebnis bringen kann, was angegeben ist.

Gegebene Funktion: f(x)=2xe-0,02x2
Dazu soll ich die Stammfunktion bilden.

Angegebene Lösung: F(x)=-50e-0,02x2

Ich komme auf die Lösung: F(x)=1-0.04xe-0.02x2(2x+50x)

Hab ich irgendwo einen Denkfehler?
Danke schon mal!


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

13:40 Uhr, 20.04.2010

Antworten
Hallo,

durch Differenzieren kannst Du direkt feststellen, dass Deine Lösung falsch ist. Ich vermute, dass Du irgendwo in Deinen Überlegungen die Auswirkungen der Kettenregel oder Produktregel falsch angesetzt hast.

Übrigens: Es gibt keine elementare Funktion die Stammfunktion für exp( -αx2) ist.


Gruß pwm
Antwort
johannes2010

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13:53 Uhr, 20.04.2010

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F=2xe-x250dx

Substitution: u=-x250dx=-502xdu

F=2xe-x250dx=-50eudu=-50eu=-50e-x250
kathi91

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13:55 Uhr, 20.04.2010

Antworten
Okay, dann schreibe ich mal meinen Lösungsweg auf, weil ich wohl grade irgendwie net klar komme^^

Bei mir ist:
u=2x
u'=2
v'=e-0,02x2
v=1-0,04xe-0,02x2

dann folgt: F(x)=[2x1-0,04xe-0,02x2]-21-0,04xe-0,02x2

ich schreib erstmal nicht weiter.
1. Ich weiß, es fehlt das Intergralzeichen, nur ich weiß net wie man das macht^^
2. Bisher richtig?
Antwort
johannes2010

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13:57 Uhr, 20.04.2010

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Die Integration von vʹ ist völligst falsch!
kathi91

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13:58 Uhr, 20.04.2010

Antworten
ehm okay jetzt bin ich überfordert^^
bitte net alle auf einmal 0o

wie komme ich denn nun auf die Musterlösung?
kathi91

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13:59 Uhr, 20.04.2010

Antworten
v' ist doch schon vorhanden -.-
Antwort
johannes2010

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14:01 Uhr, 20.04.2010

Antworten
klar ist vʹ bekannt. Aber dein v (Integration) stimmt nicht.

Musterlösung: Substitution

F=2xe-x250dx

Substitution: u=-x250dx=-502xdu

F=2xe-x250dx=-50eudu=-50eu=-50e-x250


N.R: 0.02=150


kathi91

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14:05 Uhr, 20.04.2010

Antworten
warum schreibst (veränderst) du meine angegebene Funktion?

meine lautet: f(x)=2xe-0,02x2
und dafür muss ich doch keine substitution anwenden..... oder?


Antwort
johannes2010

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14:06 Uhr, 20.04.2010

Antworten
Siehe die Nebenrechnung (Habe schon fast vermutet, dass da das Problem liegt)

f(x)=2xe-0.02x2=2xe-x250
kathi91

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14:09 Uhr, 20.04.2010

Antworten
aber zum Beispiel muss man doch auch net f(x)=2xe3x substituieren
Antwort
johannes2010

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14:13 Uhr, 20.04.2010

Antworten
e3x kann man ja auch leicht integrieren. Die Integration von eαx2 ergibt die "error-function". Also nicht ratsam.
kathi91

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14:16 Uhr, 20.04.2010

Antworten
na vielen dank an meine mathelehrerin, die auf sowas nicht hinweist >.<
also rechne ich die aufgabe noch mal mit substitution... ich hoffe das wird was.

Und wie kann man erkennen wann man Kettenregel benutzt und wann Substitution?
In diesem fall hätte man es also am x2 erkannt?
Antwort
johannes2010

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14:23 Uhr, 20.04.2010

Antworten
Da ihr nur Aufgaben habt, die man analytisch lösen kann musst du dir nur überlegen, ob man die einzelnen Bestandteile "einfach" integrieren kann. ex2 kann man nicht einfach integrieren. Und natürlich üben, üben ....
kathi91

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14:28 Uhr, 20.04.2010

Antworten
ich weiß nicht, woran ich erkenne, ob etwas "einfach" zu integrieren ist.

und mit deiner art der substitution komme ich irgendwie auch nicht klar :(
ich kenne nur die Formel: f(g(x))g'(x)dx
wenn die originale Funktion so geschrieben werden kann, dann kann ich substituieren, aber bei ex250 erkenne ich das nicht.

musst mir das mal bisschen "für dumme" erklären^^
Antwort
johannes2010

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14:37 Uhr, 20.04.2010

Antworten
Ich weiß nicht, wie du das Substitutionsprinzip gelernt hast.

Aber:

f(x)=2xe-x250=-50g(x)ʹeg(x)
F=2xe-x250dx=-50g(x)ʹeg(x)dx=-50eg(x)=-50e-x250

Also genau die Formel, welche du angegeben hast.


kathi91

kathi91 aktiv_icon

14:44 Uhr, 20.04.2010

Antworten
okay... also mir würde es helfen, wenn du mir sagst, was f(g(x)) ist, was g'(x) ist.
und mich verwirrt noch ein bisschen, woher die -50 kommt.

du hast zuvor geschrieben u=x250, dass bedeutet ja, dass du diesen Term durch u ersetzt.
soweit ist klar, aber dann hattest du noch geschrieben, dass dx=502xdu. was sagt mir das?
Antwort
johannes2010

johannes2010 aktiv_icon

14:49 Uhr, 20.04.2010

Antworten
Du musst dx als du schreiben!

Im einzelnen:

u=-x250
dudx=-2x50dx=-502xdu

Also dx kann im Integral ersetzt werden und für -2x50 wird u verwendet:

F=2xe-2x50dx=2xeu(-502xdu)=-50eudu


kathi91

kathi91 aktiv_icon

15:01 Uhr, 20.04.2010

Antworten
mhh..
ich habe noch nie etwas von dem bruch dudx gehört. Genau so wenig davon, dass man dx auch ersetzen kann.

Wir haben es nur an einem ziemlich einfachen Beispiel gelernt:
f(x)=4x(1+2x2)2

man sieht leicht, dass 1+2x2=g(x) ist und dementsprechend 4x=g'(x)
wir haben dann einfach g(x) durch z ersetzt (bin davon ausgegangen, dass weil man ja kein x mehr hat dx jetzt zu dz wird).
dann steht da ja einfach f(z)=1z2. Und diesen Term haben wir dann einfach integriert.

Und das wars schon. Vielleicht ist es jetzt nachvollziehbar, dass ich grade total aufgeschmissen bin :(
kathi91

kathi91 aktiv_icon

15:20 Uhr, 20.04.2010

Antworten
Ist vielleicht dudx die Ableitung von u ? Und dann nach dx umgeformt dx=-502xdu, welches man dann einsetzt?

Wenn man das dann einsetzt kürzt sich ja auch 2x raus, dann versteh ich jetzt auch wo die -50 her kommt.
Antwort
johannes2010

johannes2010 aktiv_icon

15:21 Uhr, 20.04.2010

Antworten
ja. das ist die Ableitung
Frage beantwortet
kathi91

kathi91 aktiv_icon

15:28 Uhr, 20.04.2010

Antworten
Cool danke habs verstanden.
Angewandt auf mein Beispiel aus dem Unterricht zeigt sich ja, dass wenn man z ableitet, der Bruch dzdx=4x. dx wird dann durch 14x ersetzt und kürzt sich mit 4x im zähler raus.
erstaunlich... so habe ich die Substitution nie verstanden^^
aber jetzt endlich weiß ich wie das alles kommt.

Danke schööön!!!!!
 
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