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Zweite Ableitung kürzen & vereinfachen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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16:55 Uhr, 30.12.2012

Hallo, ich habe ein Problem beim Lösen bzw Vereinfachen von meiner 2. Ableitung von

\frac{x^{3}}{x^{2} - 4}

.

Als Ergebnis der 1. Ableitung erhalte ich

\frac{x^{4} - 12 x^{2}}{(x^{2} - 4)^{2}}

.

Davon die 2. Ableitung ergibt

\frac{(4 x^{3} - 24 x) (x^{2} - 4)^{2} - (x^{4} - 12 x) (2 (x^{2} - 4) 2 x)}{(x^{2} - 4)^{4}}

Edit:Formatierung korrigiert

Umgestellt:

\frac{(4 x^{3} - 24 x) (x^{2} - 4)^{2} - 2 (x^{4} - 12 x) 2 x (x^{2} - 4)}{(x^{2} - 4)^{4}}

Nun ist mein Ziel, diese 2. Ableitung zu vereinfachen.
In diesem Schritt kürze ich mit

(x^{2} - 4)

\frac{(4 x^{3} - 24 x) (x^{2} - 4)^{2} - 2 (x^{4} - 12 x) 2 x}{(x^{2} - 4)^{3}}

Anschliessend fasse ich -2 und 2x zusammen, dies ergibt -4x:

\frac{(4 x^{3} - 24 x) (x^{2} - 4)^{2} - 4 x (x^{4} - 12 x)}{(x^{2} - 4)^{3}}

Der Rechenschritt meines Profs an der Stelle ist jedoch:

\frac{(4 x^{3} - 24 x) (x^{2} - 4) - 4 x (x^{4} - 12 x)}{(x^{2} - 4)^{3}}

...aber ich verstehe nicht warum! Er hat eine Klammerpotenz von

(x^{2} - 4)^{2} s o w i e

(x^{2}-4)wegfallen lassen.

Die vollständige Lösung der Aufgabe ist:

\frac{8 x^{3} + 96 x}{(x^{2} - 4)^{3}}

Und egal was ich mache, ich komme nicht auf diese Lösung. Welche Rechenregel wende ich nur falsch an? Und wie gehe ich hier korrekt vor?

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)