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exponentialfunktion/ Kettenregel/ Produktregel

Schüler Gymnasium,

Tags: Exponentialfunktion, Logarithmus

hjklm

18:33 Uhr, 28.01.2013

Hallo,
wir haben in der Schule zwei Aufgaben zur Exponentialfunktion aufbekommen, bei denen ich nicht weiterkomme, weil ich das noch nie hatte.

Hier sind die Aufgaben:

1.

f (1) = 12

und

f (2) = 18

gesucht

f (x) = c \cdot a^{x}

2.Gegeben ist die Funktion

f (x) = 2 y^{2} \cdot e^{- x}

a)

führen sie die Kurvenuntersuchung durch (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte).
An der 2. Aufgabe würde ich mich selber an der Kurvendiskussion probieren. Allerdings komme ich bei den Ableitungen, die Voraussetzung für die Aufgabe nicht weiter. Kann mir da vielleicht jemand helfen?

Meine bisherigen Lösungswege:

Zur ersten Aufgabe:

1. Bedingung:

f (1) = c \cdot a^{1} = 12

2. Bedingung:

f (2) = c \cdot a^{2} = 18

Ich hab jetzt , die erste Bedingung nach

c

aufgelöst.

\to c \cdot a^{1} = \frac{12}{:} a^{1}

c = \frac{12}{a^{1}}

Wenn ich dann das ausgerechnete

c

in die zweite Bedingung einsetze, erhalte ich:

\frac{12}{a^{1}} \cdot a^{2} = \frac{18}{:} a^{1}

12 \cdot a^{3} = \frac{18}{:} 12

a^{3} = \frac{3}{2}

/3.Wurzel
a=ca.

1,145

Das Ergebnis erscheint mir ein wenig komisch,

v . a

. weil ich ja

f (x) = c \cdot a^{x}

ausrechnen soll und mein Lehrer etwas von Logarithmen meinte.
Wäre vielleicht jemand so freundlich, da noch mal rüberzugucken und mir zu sagen, was ich falsch gemacht habe?
Wäre sehr dankbar.

Zur 2. Aufgabe:
Da habe ich jetzt zu der Funktion folgende Ableitungen herausbekommen:

f (x) = 2 x^{2} \cdot e^{- x}

f´(x)=4x*(e^-x+2x^2)*-e^-x=

e^{- x} \cdot (4 x - 2 x^{2})

f´´(x)=-e^-x*(4x-2x^2)+e^-x*(4-4x)=e^-x*(2x^2-8x+4)

f´´´(x)=-e^-x*(2x^2-8x+4)+e^-x*(4x-8)=e^-x*(-2x^2+12x-12)

Ich bin mir bei der Produktregel noch nicht ganz sicher und weiß nicht, ob ich sie richtig angewendet habe. Kann vielleicht noch mal jemand über meine Ergebnisse gucken? Ich wäre unglaublich dankbar.

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Logarithmusgesetze - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hjklm

18:36 Uhr, 28.01.2013

Entschuldigung, die Doppelpunkte unter den Brüchen sollten ursprünglich Vermerke sein, wo ich was geteilt habe.

Z . B

/ : a^{1}

anonymous

18:45 Uhr, 28.01.2013

Also wenn ich deine Angabe richtig gelesen habe

. .

f (x) = c \cdot a^{x}

f (1) = 12

f (2) = 18

\Rightarrow 12 = c \cdot a

18 = c \cdot a^{2}

Die untere Gleichung durch die obere dividieren ergibt

\frac{18}{12} = \frac{c \cdot a^{2}}{c \cdot a}

1,5 = a

a = 1,5

anonymous

18:50 Uhr, 28.01.2013

12 = c \cdot a

12 = c \cdot 1,5 \Rightarrow c = \frac{12}{1,5} = 8

f (x) = 8 \cdot {1,5}^{x}

anonymous

19:02 Uhr, 28.01.2013

Zum zweiten Beispiel:

f (x) = 2 \cdot x^{2} \cdot e^{- x}

f' (x) = e^{- x} \cdot (- 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x)

f'' (x) = e^{- x} \cdot (2 \cdot x^{2} - 8 \cdot x + 4)

Korrekt

! (

Die 3. Ableitung habe ich nicht überprüft )
Bitte bei Gelegenheit "Wie schreibt man Formeln?" durchackern.

hjklm

20:01 Uhr, 28.01.2013

Vielen Dank,
ich werde versuchen, zu lernen wie man Formeln richtig schreibt, auch wenn ich bei solchen Programmen leider eine echte Niete bin und meist nicht ganz durchblicke.

anonymous

20:03 Uhr, 28.01.2013

Wo ein Weg, da ein Wille, da eine Hoffnung, da ein

... .

hjklm

15:40 Uhr, 29.01.2013

Hallo, ich habe doch noch mal eine Frage zu der 2. Aufgabe mit der Funktion

2 x^{2} \cdot e^{- x}

.

Und zwar soll ich eine Kurvendiskussion bei der Aufgabe durchführen. Ich weiß aber nicht ob

e^{- x} > 0

oder ob

e^{- x} < 0

ist. Und wenn sie es kleiner als 0 sein sollte, muss ich dann bei der Kurvendiskussion etwas besonderes beachten?
Bei

e^{- x} > 0

müsste ich wissen, wie es geht.

Kann mir hier bitte noch mal jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus und sorry, wenn die Schreibweise noch nicht ganz richtig ist. Ich versuche mich da langsam voranzutasten.

anonymous

15:42 Uhr, 29.01.2013

Sowohl

e^{x}

als auch

e^{- x}

ist immer größer 0.

hjklm

15:44 Uhr, 29.01.2013

Okay, danke!

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