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wie kommt man auf die Formel be^(-ax)=(-b/a)e^(-ax

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Integral

Pavelasd aktiv_icon

17:39 Uhr, 12.01.2013

Hi,

wie kommt man auf die Formel

\int

e^{-} b x

dx=

\frac{- a}{b}

e^{-} b x

, wo a und b reele Zahlen sind.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Underfaker aktiv_icon

18:13 Uhr, 12.01.2013

Naja ich hoffe es lautet anders.

\int a \cdot e^{- b x} d x = - \frac{a}{b} \cdot e^{- b x} + c

mit

a, b, c \in ℝ

und

b \neq 0

Das funktioniert wie die Kettenregel rückwärts, zu bachten ist, dass a ein konstanter Faktor ist und diesen können wir seperat betrachten.

Es reicht also zunächst:

e^{- b x}

zu betrachten, beim Ableiten benutzen wir die Kettenregel.
Äußere Ableitung (Exponentialfunktion) bleibt gleich:

e^{- b x},

innere Ableitung

(- b x)

ergibt abgeleitet

- b

.
Wir multiplizieren also

- b

zur Exponentialfunktion dazu, rückwärts müssen wir also durch

- b

teilen.
Letztlich sollte man einen etwaigen Summanden beachten der beim Ableiten wegfiele.

Folglich:

\int e^{- b x} d x = \frac{e^{- b x}}{- b} + c

und

\int a \cdot e^{- b x} d x = a \cdot \frac{e^{- b x}}{- b} + c

Ma-Ma aktiv_icon

18:18 Uhr, 12.01.2013

Eine weitere Möglichkeit wäre Substitution:

u =

-bx
LG Ma-Ma

Pavelasd aktiv_icon

20:07 Uhr, 12.01.2013

ich verstehe leider nicht, wieso wir denn rückwärts durch (-b) teilen müssen, es gibt doch keine Regel, die besagen würde, dass wenn man bei der Ableitung was multipliziert, dann muss man dadurch bei der Hochleitung teilen, oder?

Underfaker aktiv_icon

21:15 Uhr, 12.01.2013

"Hochleiten" gibt es nicht.

Und das kann man so mache, da die innere Funktion eine lineare ist, siehe meine Erklärung zur Hinrichtung.

Leite doch einmal

\frac{a}{- b} \cdot e^{- b x} + c

Pavelasd aktiv_icon

21:24 Uhr, 12.01.2013

Ich habe aber nicht gefragt, wie man auf (

\frac{- a}{b}

e^{- b x}

)´=a

e^{- b x}

dx kommt, sondern wie man auf

\int

e^{- b x}

dx=

\frac{- a}{b}

e^{- b x}

kommt. Meine Frage bezieht sich also nicht auf die Ableitung, sondern auf die Aufleitung

Ma-Ma aktiv_icon

21:31 Uhr, 12.01.2013

Die Erklärung von Underfaker geht einfach nur den umgedrehten Weg. Ist richtig, aber evtl. etwas mühselig.

Hast Du bereits den Weg Weg mit der Substitution ausprobiert (siehe oben) ?

- - - - - - - - - -

Übrigens, wir integrieren hier ("Aufleiten" ist im mathematischen Sprachgebrauch nicht üblich.)

Ma-Ma aktiv_icon

21:58 Uhr, 12.01.2013

Na Pavel, wie siehts aus ? Kommst Du mit der Substitution klar ?

cassiopeia aktiv_icon

22:22 Uhr, 12.01.2013

Crossposting: www.matheboard.de/thread.php?threadid=511587

Underfaker aktiv_icon

22:33 Uhr, 12.01.2013

Ich weiß was du gefragt hast, eventuell machst du dir die Mühe, konzentriert meine Beiträge durchzulesen.

Dir sollte doch der Zusammenhang zwischen differenzieren und integrieren klar sein.

Wenn ich also sage, dass du beim Ableiten die Kettenregel anwendest und deshalb beim integrieren diese Schritte rückwärts durchdenken sollst und das ist hier schon fast trivial, dann mach das doch mal und das geht recht gut wenn du die Lösung auch mal ableitest, denn gerade dann siehst du die Schritte deutlich.

Das ist mit ähnlicher Logik zu betrachten wie:

(2 x^{2})' = 4 x

und

\int 4 x d x = 2 x^{2} + c

ps: Crossposting ist unschön, da dort bereits geantwortet wurde obgleich die Antwort etwas dünner ist.

[

edit]

Um zu beantworten warum ich, bzw "man" erst ableitet: Es geht darum zu verstehen welche Schritte "rückgängig" gemacht werden sollen, du wirst beim Ableiten (unabhängig davon ob es die zweite, dritte, etc. Ableitung ist) immer den faktor

- b

vor die Exponentialfunktion multiplizieren, rückwärts beim Integrieren ist also durch

- b

zu teilen.

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