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Abiturprüfung 2007 Analysis

Schüler

Tags: Analysis, Integral

rani47 aktiv_icon

11:57 Uhr, 09.12.2012

Hallo,

ich habe hier ein Problem mit einer Abituraufgabe von

2007

.

Die Aufgabe lautet :

In einem Lexikon steht, dass bestimmte Fichtenarten bis zu

60 m

hoch werden können.
Ermitteln sie, welche Höhe eine Fichte, deren Wachstum durch die Funktion

f

beschrieben wird, maximal erreichen kann. (gerundet auf ganze Meter.)

Die Stammfunktion lautet :

F (t) = - 0,2 \cdot (t^{2} + 20 t + 200) \cdot e^{- 0,1} t

Die Fichte hat zu dem eine Anfangshöhe von

0,2 m

.

Die Lösung ist :

h (z) = 0,2 +

Integral von 0 bis

z (

ich weiß leider nicht, wie man hier das Intergralzeichen aufschreibt. Ich hoffe, ihr wisst was ich meine

.)

f (t) d t = - 0,2 (z^{2} + 20 z + 200) \cdot e^{- 0,1} z + 40,2

meter.

Meine Frage :

Woher kommen diese

40,2

Meter ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

12:05 Uhr, 09.12.2012

Sollte es bei deiner Stammfunktion am Schluss nicht heissen

e^{- 0,1 \cdot t}

rani47 aktiv_icon

13:07 Uhr, 09.12.2012

Ja, stimmt das sollte so heißen wie gesagt mit der Schreibweise hier im Forum kenne ich mich leider nicht so gut aus:/

anonymous

13:15 Uhr, 09.12.2012

Bei Gelegenheit das :
http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
Schnell eine ( noch schnellere ) Antwort.
Stammfunktionen haben ja ein vorerst unbestimmtes

C (

additive Konstante

),

die man "hinten" anhängt.
das wäre bei uns also - formal - so.

- 0,2 \cdot (t^{2} + 20 \cdot t + 200) \cdot e^{- 0,1 \cdot t} + C

Am Anfang

(t = 0)

liefert die Funktion

- 0,2 \cdot (0 + 20 \cdot 0 + 200) \cdot e^{- 0,1 \cdot 0} + C = - 0,2 \cdot 200 \cdot e^{0} + C = - 40 + C

laut Angabe soll aber der Anfangswert

0,2

sein

\Rightarrow - 40 + C = 0,2 \Rightarrow C = 40,2

Möge die Übung gelingen !

rani47 aktiv_icon

13:58 Uhr, 09.12.2012

Okay danke das habe ich jetzt verstanden

=)

Nur noch eine kleine Frage :

Ist diese

40,2

denn dann auch das Ergebnis dieser Aufgabe?

Weil dás Ergebnis damit identisch ist.

funke_61 aktiv_icon

13:10 Uhr, 11.12.2012

nachdem Du Goedels Antwort abgearbeitet hast, wäre die korrekte Antwort auf Deine Zusatzfrage:

F_{0,2} (t) = - 0,2 (t^{2} + 20 t + 200) \cdot e^{- 0,1 t} + 40,2

beschreibt die Höhenfunktion

F

der Fichte in Abhängigkeit von der Zeit

t

für den Anfangswert

F (t = 0) = 0,2

Die maximale Höhe, die ein Fichte nach dieser Funktion erreichen kann, ist also:

lim_{t \to \infty} F_{0,2} (t) = lim_{t \to \infty} - 0,2 (t^{2} + 20 t + 200) \cdot e^{- 0,1 t} + 40,2 =

lim_{t \to \infty} - 0,2 (t^{2} + 20 t + 200) \cdot \frac{1}{e^{\infty}} + 40,2 =

lim_{t \to \infty} - 0,2 (t^{2} + 20 t + 200) \cdot 0 + 40,2 = 40,2

Oder in anderen Worten:

F (t)

nähert sich für den Anfangswert

F (t = 0) = 0,2

asymptotisch dem Maximalwert

40,2 m

an, wenn

t \to \infty

geht.

Da in der Aufgabe (ganz oben) noch "(gerundet auf ganze Meter)"
stand, solltest Du dies zur Vermeidung von Punktabzug noch berücksichtigen.
;-)

anonymous

13:32 Uhr, 11.12.2012

Sollte man einen besonders "scharfen" Mathematikprofessor haben, dann könnte eventuell folgende Frage auftauchen.
Der

lim

liefert ja vorerst den UNBESTIMMTEN Ausdruck

\infty \cdot 0

\infty

entsteht in der Klammer, 0 durch die e-Potenz.
Solche Ausdrücke könnten vieles sein, hier ist es aber 0. Warum ?
( Sollte die Frage nicht gestellt werden, einfach vergessen )

funke_61 aktiv_icon

13:46 Uhr, 11.12.2012

@GoedelIII: stimmt, habe ich übersehen :-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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