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Analytische Geometrie / Analysis: Rotation‏

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: Analysis, Analytische Geometrie, Difinitionsbereich, Funktion, Graph, Integral, Kegel, Rotation, Vekorrechnung

RobinAliasPuck aktiv_icon

20:54 Uhr, 06.12.2012

Aufgabenstellung:

Gegeben sei ein Punkt

C (0 | 3 | 4)

Analytische Geometrie:

a .)

Lässt man den Ortsvektor von

C

um die x1-Achse rotieren, so entsteht eine Rotationsfigur. Welche Form und welchen Flächeninhalt hat diese Figur?

b .)

Lässt man den Ortsvektor von

C

um die x3-Achse rotieren, so entsteht ein Rotationskörper in Form eines Kegels. Berechnen Sie sein Volumen.

c .)

Durch den Schnitt mit einer Ebene soll dieser Kegel 1 LE niedriger werden. Geben Sie die Gleichung einer geeigneten Ebene in Koordinatenform an.

Analysis:

d .)

Stellen Sie eine Gleichung auf für eine lineare Funktion

f,

die den Ortsvektor von

C

enthält. Schränken Sie dann den Difinitionsbereich der Funktion

f

so ein, dass ihr Graph genau dem Ortsvektor von

C

entspricht.

e .)

Lassen Sie den Funktionsgraphen nun an der x2-Achse rotieren und berechnen Sie das Volumen des so entstehenden Kegels mit Hilfe des Integrals über der Querschnittsfunktion.

f .)

Nun sollen Höhe und Radius des Kegels so verändert werden, dass bei gleichlang bleibender Seitenkante

s

sein Volumen möglichst groß wird.

Welche Länge haben dann Radius und Höhe des Kegels?

Welches Volumen hat der Kegel dann?

Eigene Idee:

Ok also bei der Aufgabe...

a .)

wird durch den gegebenen Vektor ein Kreis gebildet um dessen Fläche zu berechnen muss ich den Vektor, der hier den Radius darstellt in eine der folgenden Formeln einsetzten:

A = Π \cdot r^{2}

bzw.

A = \frac{Π \cdot d^{2}}{4}

b .)

um das Volumen des Kegels zu berechnen brauche ich die Höhe, den Radius und die Länge der Seite des Kegels.
Der Radius ist die Zahl

3,

die ich dem Vektor entnehmen kann und der Vektor selbst stellt die Länge der Seite des Kegels dar. Was die Höhe betrifft so ist deren Länge um ein paar Einheiten kleiner als die Länge des Vektors. Soweit richtig, oder irre ich mich?
Auch hier stellt sich mir die Frage, wie ich den Vektor in die Formel einbetten soll.

c .)

hier bin ich mir etwas unsicher. Ich soll eine Ebene finden, die den Kegel um eine Längeneinheit verkürzt, aber wie das?

d .)

eine lineare Funktion ist doch nichts anderes als eine Gerade, nicht wahr?

D . h

. Ich muss eine Geradengleichung aufstellen mit einem Stützvektor und einem Richtungsvektor. Kann ich den Ortsvektor als Stütsvektor verwenden? Und wie soll ich das mit dem Difinitionsbereich machen?

e .)

diesen Teil der Aufgabe kann ich leider Gottes nicht verstehen.
Welcher Funktionsgraph ist gemeint? Die Gerade aus

d .)

? Was ist in der Aufgabe genau gefordert?

f .)

soll ich an dieser Stelle den Kegel aus

e .)

Strecken? Falls ja, dann wie genau?

Leser und Helfer,

ich muss eine Vorabi-Leistung halten und das ist die Übungsaufgabe dazu.
Es wäre mir sehr geholfen, wenn mir jemand genauesten, also Schritt für Schritt erklären könnte, wie man die Aufgaben löst und wie die jeweiligen Lösungen lauten.
Das würde mir

u . a

. als Selbstkontrolle dienen und so könnte ich bestmöglichst das Verfahren nachvollziehen können.
Ich bin nicht dumm, was Mathe betrifft, aber es sind oft die Verständigungsschwierigkeiten bzw. die komplizierten Lösungswege, die mir das Fach so fremd erscheinen lassen.
Ich kann sowieso nicht verstehen, weshalb man Sachverhalte immer so kompliziert und unüberschaubar zu lösen versucht, wenn es doch auch ganz einfach gehen kann.

Naja ich möchte an dieser Stelle jedem danken, der das überhaupt bis zum Ende gelesen hat und natürlich auch denen, die gewillt sind mir zu helfen.

Liebe Grüße
Aylen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Kegels

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