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Anfangswertproblem durch Trennung der Variablen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Integral, Integration, Integration durch Substitution, Trennung der Variablen

michi9595 aktiv_icon

12:55 Uhr, 13.06.2017

Hi zusammen,

Ich bin mir bei einer Anfangswertproblem-Aufgabe nicht sicher, wie man sie bezüglich der Integration am Ende richtig löst:

y \cdot y' \cdot (1 + e^{x}) = e^{x};

y (0) = 4

Durch Trennung der Variablen, und Substitution mit

u = e^{x} + 1

komme ich auf:

\frac{1}{2} y^{2} = ln (u) + C

Daraus:

y = \sqrt{2 ln (e^{x} + 1) + 2 C}

bzw.

y = \sqrt{2 ln (e^{x} + 1) + K}

für

y (0) = 4 \to K = 16 - 2 \cdot ln (2) = 14,61

Also:

y = \sqrt{2 ln (e^{x} + 1) + 14,61}

Oder, eine andere Möglichkeit:

\frac{1}{2} y^{2} = ln (u) + ln (C) = ln (C \cdot u) = ln (C + C \cdot e^{x})

\to y = \sqrt{2 ln (C + C \cdot e^{x})}

mit

C = \frac{e^{8}}{2} = 1490,47

Also:

y = \sqrt{2 ln (\frac{e^{8}}{2} \cdot (1 + e^{x}))}

Sind das beides akzeptable Lösungen? Bei der 2. Lösung ist es wahrscheinlich etwas unsinnig, dass man die Konstante mit der Substitution multipliziert. Aber mir geht es nur darum, zu wissen ob es korrekt ist oder nicht.

Freue mich Antworten

Grüße
Michi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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