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Annäherung der Funktion an ihre Asymptote

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Stetigkeit

vanyb86 aktiv_icon

15:57 Uhr, 19.02.2010

Woran kann ich ohne es zu zeichen erkennen,ob sich eine Funktion ihrer Asymptote von oben oder unten nähert?

Ich habe

z . B

folgende Funktion :

F (x) =

(x²)/(x-1)
Die Asympthote ist

x + 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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michaL aktiv_icon

16:22 Uhr, 19.02.2010

Hallo Vanessa,

weißt du, wie man die Gleichung der Asymptoten ermittelt? Macht man mit Polynomdivision. Die geht nicht auf, d.h. es bleibt ein Rest. Dieser Rest (bzw. sein Vorzeichen) gibt an, ob sich von oben oder unten an die Asymptote genähert wird.
In deinem Beispiel ist

\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}

, d.h. die Differenz zwischen deiner Funktion und dem Term zu der Asymptoten (der Rest) beträgt

\frac{1}{x - 1}

, was für

x > 1

positiv ist. D.h. für

x \to \infty

nähert sich der Graph der Asymptoten von oben.
Kannst ja mal schauen, ob du rausfindest, wie sich der Graph für

x \to - \infty

nähert.

Mfg Michael

vanyb86 aktiv_icon

17:02 Uhr, 19.02.2010

Super vielen Dank für die detaillierte Erklärung.
Ich würde sagen für

x - \to -

∞ nähert er sich von unten.
Stimmt das?

Also schaue ich mir nur den "Rest" an und betrachte nicht die gesamte Asymptote?

michaL aktiv_icon

17:18 Uhr, 19.02.2010

Hallo Vanessa,

ja, stimmt. Der Rest (der Polynomdivision!) ist gleich der Differenz zwischen Wert der Funktion und Wert der Asymptotenfunktion. Also ein Höhenunterschied. Ist diese positiv, dann liegt der Funktionsgraph höher, also oberhalb. Ist sie negativ, ist es umgekehrt.

Mfg Michael

vanyb86 aktiv_icon

16:40 Uhr, 20.02.2010

Vielen Dank für die Hilfe!

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