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Anwendungsaufgabe aus der Medizin

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: 3. Grades, e-Funktion, Effizienz E, Exponentialfunktion, Gleichungen

anonymous

17:38 Uhr, 10.04.2009

In der Krebstherapie wird die Effizienz

E

einer Bestrahlung in Abhängigkeit von der gegebenen Dosis

X

näherungsweise durch Funktion 3. Grades

E (x)

beschrieben
Die Steigung des Graphen von

E (x)

ist ein Maß für die Effizienzänderung in Abhängigkeit von der Dosis

x

.

Eine Testreihe ergab bei einer Dosis von

x = 0

Dosiseinheiten die Effizienz Null: bei

x = 2

vier; bei

x = 4

acht und bei

x = 6

Null Effizienzeinheiten.

a)

Bestimmen Sie die Funkton

E (x)

in Abhängigkeit von der Dosis

X

b)

Bestimmen Sie die Funktionswerte für

x = 1; x = 3

und

x = 5

c)

Für welchen Dosiswert ist die Effizienz der Bestrahlung am größten?

d)

Bei welcher Dosis ist die Effizienzzunahme am größten?

e)

Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte.

e)

Tragen Sie alle bisher bekannten Werte in eine Wertetabelle ein.

g)

Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

h)

Welche Schlussfolgerung kann ein Arzt aus diesen Ergebnissen ziehen?

Hab leider keine Ahnung wie ich das Rechnen soll. Kann mit da jemand helfen! Würde mich sehr freuen. Bräuchte bitte einen Kompletten Lösungsweg!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

12:19 Uhr, 11.04.2009

hi markus
du benötigst 4 punkte um ein polynom 3. grades zu beschreiben
y=ax^3+bx^2+cx+d
punkte in gleichung einsetzen

0 = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d

mit

d = 0

haben wir schon einen koeff.
damit wird y=ax^3+bx^2+cx

mit den 3 restlichen punkten
3 glng. mit 3 unbek.a,b,c
lösen zb mit gauß:

a = - 0,25

b = 1,5

c = 0

y = - 0.25 x^{3} + 1,5 x

funktionswerte

x = 1

usw einsetzen
ableitung nullsetzen->xwert des maximums ca.4
2.ableitung nullsetzen->xwert des steilsten anstiegs ca.2
achsabschn

0 - 0

und

6 - 0

dosis

> 6

führt zur effiz minderg.
grüzi

⊙ k

anonymous

12:46 Uhr, 11.04.2009

Hallo. Kannst du mir nochmal das an den Punkten

a - h

erklären!

Vielen Dank! Markus

anonymous

13:31 Uhr, 11.04.2009

Bitte kann mir jemand das nochmal an den Schritten

a - h

genau zeigen zu jeden Schritt!

Vielen Dank! Brauche es unbedingt!!! Dann kann ich die zweite Aufgabe mal alleine versuchen. Brauche einen kompletten Lösungsweg!

BjBot aktiv_icon

13:32 Uhr, 11.04.2009

Zum einen hat er dir das doch anhand der AUfgabe schon erklärt.
Zum anderen drängel doch nicht so...das geht eher nach hinten los.
Wenn einer Interesse und Zeit hat wird er /sie sich schon melden.

anonymous

13:35 Uhr, 11.04.2009

Will ja auch nicht drängeln. Aber ich verstehe bei seiner Antwort nicht welcher Schritt zu welcher Frage

a - h

gehört.! Deswegen war ja meine Frage ob mir jemand mal das anhand den Punkten zeigen kann. Wie gesagt brauche mal einmal zu allem ne Komplette Rechnung als Musterbeispiel dazu.

Tschuldigung wenn es als Drängln rübergekommen ist, war nicht meine Absicht!!!

anonymous

15:30 Uhr, 11.04.2009

hi markus,
den kompletten lösungsweg hast du wie gewünscht. wenn du dazu noch begreifen möchtest, warum das so geht, solltest du in den sauern apfel beißen und die lösung in zusammenarbeit wünschen, dann siehst du selbst, wo es bei dir noch hapert.
gerne

⊙ k

anonymous

15:36 Uhr, 11.04.2009

Ok! Das ist mir klar. Und das ist auch echt super. Aber zu welcher Frage gehört jetzt welcher Lösungschritt, das ist mir noch unklar. Kannst du das mal dazu schreiben bei deinem Lösungsweg, das ich auch gleich die Frage dazu jeweils sehe!

anonymous

15:54 Uhr, 11.04.2009

hallo
zu

a .

y = a x^{3} + ... ...

0=a*0^3+b*0^2+...dies ist die erste gleichung, für die der punkt

0; 0

benutzt wurde - führt auf

d = 0

schreibe jetzt die gleichung für den 2. punkt

2; 4

hin

⊙ k

anonymous

16:11 Uhr, 11.04.2009

So dann muss ich bei

B)

nur die

X

werte einsetzten in die Funktion

bei

c

muss ich wenn die Funktion habe die 2 Ableitung bilden

bei

d)

muss ich ?

bei

e)

?

bei

f)

einfach die

X

Werte in eine Wertetabelle eintragen

bei

g)

Koordinatensystem Zeichnen (Was muss denn auf die X-Achse und was auf die

Y

Achse von wo bis wo?) Von

0 - 6

oder ?

bei

H

nur das mit der Wertminderung schreiben das es bei größer 6 eine Wertminderung gibt.

Meine Frage ist jezt noch bei

d)

Was muss ich da noch machen. muss ich die 2. Ableitung gleich null setzten? Das habe ich doch schon in

c

gemacht oder nicht? MUss ich dann in der 2. Ableitung die

X

Werte einsetzten?

Wie bestimme ich die Achsenschnittpunkte?

Vielen Vielen Dank für deine Hilfe!

BjBot aktiv_icon

16:12 Uhr, 11.04.2009

@ knut

Schreib doch einfach a-h oben an deine Lösung dran, mehr will er doch nicht =)

anonymous

16:19 Uhr, 11.04.2009

@ bjotbot
.hi bj - würde ich auch gerne tun, aber ich leide nun mal an einem helfer-syndrom.
. gruß

⊙ k .

.
@ markus
tu was ich dir sage: schreibe die erste glng. hin!

⊙ k .

anonymous

16:24 Uhr, 11.04.2009

A)

Y=ax³+bx²+cx+d gleichung lautet: Y=025x³+1,5x²

das ist meine erste Gleichung von

a)

anonymous

16:31 Uhr, 11.04.2009

markus!
die erste der drei bestimmungsgleichungen gilt für

2; 4

und heißt

4 = a \cdot 2^{3} + b \cdot 2^{2} + c^{\cdot} 2

die zweite für

4; 8

heißt

8 = a \cdot 4^{3} + ... ... .

schreibe weiter

⊙ k .

anonymous

16:36 Uhr, 11.04.2009

die zweite heißt

8 = a

mal 4 hoch

3 + b

mal 4 hoch

2 + c

mal 4

0 = a

mal 8 hoch

3 + b

mal 8 hoch

2 + c

mal 8

anonymous

16:41 Uhr, 11.04.2009

richtig
nun schreib die potenzen als zahlen hin
dann hast du drei gleichungen mit drei unbekannten:

64 a + 16 b + 4 c = 8

216 a + ... ...

ergänze!

anonymous

16:46 Uhr, 11.04.2009

8 a + 4 b + 2 c = 4

64 a + 16 b + 4 c = 8

216 a + 36 b + 6 c = 0

anonymous

16:50 Uhr, 11.04.2009

prima!
traust du dir zu, dieses gl-system zu lösen, so dass am ende

a = - 0,25 b = ...

c = ...

. dasteht?

⊙ k

anonymous

16:55 Uhr, 11.04.2009

Ja das traue ich mir zu! so dann hab ich ja die Gleichung zu

a)

raus.

anonymous

16:58 Uhr, 11.04.2009

b)

du musst dreimal einen wert für

x

in die formel einsetzen und

y

hinschreiben
tu das

y = ...

y = ...

y = ... .

⊙ k .

anonymous

17:04 Uhr, 11.04.2009

y = - 0.25 x 3 + 1,5 x

Y = - 0,25

mal 1 hoch

3 + 1,5

mal 1 hoch 2

Y = - 0,25

mal 3 hoch

3 + 1,5

mal 3 hoch 2

Y 0 - 0,25

mal 5 hoch

3 + 1,5

mal 5 hoch 2

Y = 1,25

Y = 6,75

Y = 6,25

anonymous

17:15 Uhr, 11.04.2009

richtig
gehe jetzt auf startseite - funktionen zeichnen
und setze deine formel

- 0.25 ... .

. ein in "funktions gleichung"
schau dir die kurve an, kontrolliere deine ergebnisse, löse

c, d, e,

selbständig durch anschauung
dann maximum bestimmen - schreibe 1. ableitung

⊙ k

anonymous

17:19 Uhr, 11.04.2009

Kann leider nicht zeichnen, da mein Browser das nicht macht. Kann man

C, d

und

e

nicht durch Rechnen lösen?

anonymous

17:24 Uhr, 11.04.2009

natürlich, sollst du auch. wäre aber schön, wenn du eine vorstellung von dem graph hättest.
benutze deinen GTR oder installiere dir gelegentlich graphcalc aus dem internet
jetzt

max

bestimmen

s . ⊙

xmax=...

anonymous

17:30 Uhr, 11.04.2009

also für

c

muss ich jetzt das maximum bestimmen!?

y = - 0.25 x 3 + 1,5 x 2

1. ableitung ist

- 0,75 x

hoch

2 + 3 x

2. ableitung

- 1,5 x + 3

anonymous

17:38 Uhr, 11.04.2009

setze 1. abl 0 und errechne

x 1

und x2

anonymous

17:41 Uhr, 11.04.2009

stimmt ja 1 ableitung 0 setzen

Ok! also da habe ich

X 1 = 4

und

X 2 = 0

dann in die zweite ableitung rein da hab ich dann

- 3

raus also ist es ein hochpunkt bei

- 3

richtig für C?

anonymous

17:48 Uhr, 11.04.2009

langsam
jetzt prüfen ob

x 1

ein hochpunkt:

4 \in 2

. abl einsetzen

- 1.5 \cdot 4 + 3 =

? pos oder neg
wenn neg, dann hoch
.
höchste zunahme der wirkung = höchste steigg der fkt = y´=max heißt y´´=0
bestimme

x

für y´´=0

anonymous

17:50 Uhr, 11.04.2009

X 1

ist negativ also hochpunkt

X 2

ist positiv also tiefpunkt

x = + 3

dann ist bei 4 ist die effizienz der bestrahlung am größten sehe ich das richtig?

anonymous

17:58 Uhr, 11.04.2009

muss heißen y´´(x1) .....usw
2. teil erledigen

anonymous

17:59 Uhr, 11.04.2009

Verstehe ich gerade nicht ganz!

anonymous

18:02 Uhr, 11.04.2009

dann ist bei 4 ist die effizienz der bestrahlung am größten sehe ich das richtig?

ja, ok

höchste zunahme der wirkung = höchste steigg der fkt = y´=max heißt y´´=0
bestimme

x

für y´´=0
.
. ps

X 1

ist negativ also hochpunkt

X 2

ist positiv also tiefpunkt

x = + 3 \to

diese aussage ist falsch - prüfen mit y´´ an der stelle

x = 0

anonymous

18:07 Uhr, 11.04.2009

Glaube das wird nichts. Verstehe gerade wirklich nichts mehr mit Y´´´=(x1)!

anonymous

18:12 Uhr, 11.04.2009

ISt Y´´ nicht die 2. Ableitung?

anonymous

18:12 Uhr, 11.04.2009

hallo markus, der rest ist pipifax, ich mach jetzt ostern
frohes fest und viel glück mit mathe für dich
mfg

⊙ k .

ja y´´ is die 2. ableitung. mit der 3. hatten wir nix am hut.

anonymous

18:14 Uhr, 11.04.2009

Ja trotzdem danke. Mal schauen. Verstehe zwar deine Aussage nicht bzg. mit der Effizienzzunahme. Bin eben nicht so das Matheass. Naja dir auch Frohes Fest!

anonymous

19:43 Uhr, 11.04.2009

Kann mir jemand zu den Aufgaben

d - h

nochmal ne Hilfestellung geben. Weiß gerade nicht was ich das machen soll. Währe sehr nett, weil ich unbedingt meine Mathenote aufbessern muss und keinen blassen Schimmer habe!!!

anonymous

12:56 Uhr, 12.04.2009

Kann mir jemand bei

d - h

nochmal helfen. Komme da wirklich nicht weiter!!!

DerPicknicker aktiv_icon

13:36 Uhr, 12.04.2009

Oh man!

Du hast doch unglaublich viele Tipps bekommen!
Es ist immer derselbe Kram! Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte einer Funktion ausrechnen.
Die einzige "Schwierigkeit" hier ist, dass man Kontext hat.

Was fällt dir also schwer? Von Kontext auf die Mathematik, und dann wieder in den Zusammenhang einordnen?
Oder fehlt es dir ganz krass an den "handwerklichen" Fähigkeiten, also wie rechne ich einen WP oder EP aus?..

anonymous

13:40 Uhr, 12.04.2009

Also am meisten fällt mir der Kontext schwer. Sicherlich sind meine Handwerklichen Sachen auch nicht gerade die besten. Deswegen brauche ich ja noch zu den Punkten

d - h

Hilfe. Ich weiß, das jetzt Gedacht wird, das man das können muss, ich bin eben kein Mathe Ass.

DerPicknicker aktiv_icon

13:51 Uhr, 12.04.2009

Nicht unbedingt.

Aber Sachen, wie man einen Extrempunkt oder eine Wendestelle ermittelt und überprüft, erstmal ganz ohne Kontext, sollten irgendwann sitzen.

"c) Für welchen Dosiswert ist die Effizienz der Bestrahlung am größten?"
--> Das hast du zwar schon. Aber daran kann man es gut überlegen: bei welcher Dosismenge X ist die Effizienz E am HÖCHSTEN? Hey, Hochpunkt!

"d) Bei welcher Dosis ist die Effizienzzunahme am größten?"
--> Wichtig ist hier das Wort ZUNAHME!! Fällt dir ein anderes Wort für Zu- oder Abnahme eines Graphen ein? In welchem Punkt muss diese Zu-/Abnahme am größten sein?

BjBot aktiv_icon

13:52 Uhr, 12.04.2009

Also ehrlich gesagt könnte ich mit den Beiträgen von old knut auch nicht viel anfangen, oben gehts noch aber dann irgendwann verliert sich das ganze in lauter Abkürzungen, starker Unübersichtlichkeit, verwirrende Bezeichnungen...etc

@ Markus

Frage nochmal genau nach was du wissen willst.
Fange bei d) an (vielleicht sogar früher wenn es dir so wie mir mit dem Chaos bei old knut ging)

anonymous

13:53 Uhr, 12.04.2009

hat das was mit Wachstum und Zerfall zu tun???

DerPicknicker aktiv_icon

13:55 Uhr, 12.04.2009

Dieser Thread macht mir keinen Spaß.

Leute die dazwischen quatschen.
Leute die einen mit PN`s nerven.

Ich bin raus.

BjBot aktiv_icon

13:58 Uhr, 12.04.2009

Wieso das denn ?
Mein Kommentar bezog sich nur auf die Beiträge von oldknut und sollte dem Fragesteller verdeutlichen dass es für mich nicht verwunderlich ist wenn man da nicht so durchblickt als Laie (aber auch allgemein)

DerPicknicker aktiv_icon

14:00 Uhr, 12.04.2009

Also. Ich versuchs nochmal.

zu d) Zunahme ist sowas wie Steigung! In welchem Punkt einer Funktion, Markus, nimmt die Steigung am meisten zu/ab?
Welche markanten Punkte von Funktionen kennst du?

anonymous

14:01 Uhr, 12.04.2009

Also ich verstehe bei

d - g

nicht was ich genau machen soll, da ich den Kontext nicht verstehe! Möchte gerne genau wissen, was ich da rechnen muss. Hab da keine Ahnung und mir fällt auch nichts ein. Wie gesagt, wäre für eine Hilfe dankbar!

DerPicknicker aktiv_icon

14:08 Uhr, 12.04.2009

also.

das läuft hier so: du wirst in der Regel zu der Lösung hingeführt. Es sagt also im Normalfall nicht jemand, du sollst das und das rechnen, und fertig.
wir wollen ja, dass du verständnis erlangst, und dich selber mit der aufgabe beschäftigst.

du solltest auch reaktionen, inhaltliche reaktionen, auf antworten zeigen und mitdenken. nicht immer nur "ich weiß nichts, helft mir". schau mal 2 posts über diesen. was sagst du dazu?

anonymous

14:09 Uhr, 12.04.2009

Der Wendepunkt würde ich sagen, der beschreibt doch an welchen Punkt die Steiung am meisten zu nimmt bzw. abnimmt oder nicht?

DerPicknicker aktiv_icon

14:10 Uhr, 12.04.2009

100 Punkte!

Bei c) musstest du den Extrempunkt ausrechnen.

Und bei d) nun den WENDEpunkt. Ganz genau. Wie rechnet man einen WP aus? Wie lauten die Voraussetzungen?

anonymous

14:16 Uhr, 12.04.2009

Also da wo die zweite Ableitung gleich 0 ist könnte ein Wendepunkt liegen! Man muss den

X

Wert in die Dritte Ableitung einsetzten. Und das auch gleich 0 setzen. Und was da raus kommt ist der Wendepunkt!

Hier wäre das 2 als Wendepunkt!

DerPicknicker aktiv_icon

14:20 Uhr, 12.04.2009

Falsch! Oder: nur teils richtig.

Es gibt immer zwei Arten von Bedingungen für Extrem- oder Wendepunkte.
Für Wendepunkte:

Die NOTWENDIGE Bedingung:

f ʺ (x) = 0

. Gibt es solche Punkte, so KÖNNEN sie Wendepunkte sein.

Die HINREICHENDE Bedingung:

f ‴ (x) \neq 0

. Erfüllen die x-Werte der ersten Bedingung diese Bedingung, sind sie ganz sicher Wendepunkte.

Dann hast du also den x-Wert des Wendepunktes. In welche Funktion musst du ihn einsetzen, um seinen y-Wert herauszubekommen?

anonymous

14:23 Uhr, 12.04.2009

Um Wendepunkte in einem Graphen zu finden benötigt man die 2. und 3. Ableitung. Bei allen x-Werten, bei denen die 2. Ableitung (also

f'' (x))

gleich Null ist, da könnte ein Wendepunkt liegen. Um zu überprüfen, ob da auch tatsächlich einer ist, muss man den entsprechenden x-Wert in die 3. Ableitung einsetzen und diese muss ungleich Null sein. Also in der Übersicht:

f'' (x) = 0

f''' (x) 0

Das habe ich dazu gefunden. Ist das denn falsch. Dachte immer das wäre so richtig?

DerPicknicker aktiv_icon

14:24 Uhr, 12.04.2009

Willst du mich verKOHLEN??

Selbiges hab ich doch gerade_eben_geschrieben!! DU aber davor nicht, deswegen meine Berichtigung.

anonymous

14:34 Uhr, 12.04.2009

Also sry. Dann habe ich das falsch interpretiert. ALso 2te. Ableitung ist doch

- 1,5 x + 3

Wenn ich dieses Gleich 0 setzte und nach

x

auflöse bekomme ich doch 2 heraus. Oder ist das Falsch

Dieses in die 3te. Ableitung eingesetzt

f´´´(x)=1,5 daraus schliepe ich das eine Wendestelle bei 2 eine Wendestelle liegen muss oder sehe ich das falsch!

DerPicknicker aktiv_icon

14:38 Uhr, 12.04.2009

Nein, so ist es richtig.

Da ich die Funktionsauffindung nicht verfolgt habe und auch nicht kontrollieren werde, "glaub" ich das mal, in der Hoffnung, dass du Ableiten kannst. ;-)

Aber dem scheint nicht so: denn wenn die zweite Ableitung

f ʺ (x) = - 1, 5 x + 3

ist, ist

f ‴ (x) = - 1, 5

. Also ist

f ‴ (2) = - 1.5

. Konzentration.

Du hast also die vermeintliche x-Stelle. Nun finde den Wert dazu. Danach kannst du den Antwortsatz zu d) formulieren.

anonymous

14:43 Uhr, 12.04.2009

Also setze ich das in die Ausgangsfunktion ein

y = - 0.25 x 3 + 1,5 x

Also hab ich da 4 raus.

Antwortsatz die Effizienzzunahme ist bei

x = 2

und

Y = 4

am größten.

Ist das so richtig als Antwort, wenn ich das so schreibe?

Und wie bestimme ich dann die Achsenschnittpunkte? Und welche Werte trage ich denn alles in eine Wertetabelle ein?

DerPicknicker aktiv_icon

14:44 Uhr, 12.04.2009

Schreib die Werte als PUNKT. Sonst ok.

Achsenabschnitte...überleg mal ganz stark. Welche Eigenschaften haben Punkte, die auf der x-Achse, welche die auf der y-Achse liegen?

Und die Wertetabelle machst du allein.

anonymous

14:53 Uhr, 12.04.2009

Es ist bei der Y-Achsenabschnitt ist der

X

Wert gleich null also zum Bestimmen in die Ursprungsgleichung einsetzen also

x = 0

bei der X-Achsenabschnitt

Y = 0

setzen und dann auflösen.

Wertetabelle ja sicher will ich die Alleine machne aber bei sovielen Punkten welche muss ich denn darein schreiben? Also einmal den letzten errechnenten und dann?

DerPicknicker aktiv_icon

14:54 Uhr, 12.04.2009

Oh man. Finito.

Deine Anfangsfunktion ist

f (x) = - 0.25 x^{3} + 1.5 x

?
Und davon soll

f ʺ (x) = - 1, 5 x + 3

sein?

Ich bin raus. Viel Spaß noch.

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