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Arbeitsintegral berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Integral, Integralrechnung

 
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TestAccount1245

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18:26 Uhr, 16.05.2016

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Hallo!

Folgende Aufgabe:

Ein Kraftfeld sei durch gegeben.
Berechnen Sie das Arbeitsintegral
entlang

(a) des Randes des Einheitsquadrates (Koordinaten der Eckpunkte (, )),
(b) des Einheitskreises.

Kann mir bitte jemand helfen? Danke schon mal! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ledum

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18:41 Uhr, 16.05.2016

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Hallo
die Geradenstücke von (-1.-1)bis kannst du doch wohl als hinschreiben usw für die anderen 3 Geradenstücke
dann den Weg in einsetzen , Skalarprodukt integrieren. wie man den Einheitskreis parametrisiert solltest du eigentlich auch wissen!
Gruß ledum
TestAccount1245

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18:48 Uhr, 16.05.2016

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Wie kommst du auf den Vektor r(t) und den Grenzen?
TestAccount1245

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20:02 Uhr, 16.05.2016

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Wie kommst du auf das?
Antwort
ledum

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20:10 Uhr, 16.05.2016

Antworten
Hallo
ich hatte in den Grenzen einen Fehler ist richtig wenn von 0 bis 2 läuft ist
hast du das Quadrat gezeichnet? die untere Seite geht von nach das wird durch den Vektor beschrieben wenn richtig läuft. du musst doch nur die Koordinate festhalten und so wählen, dass am anfang am Ende 1 rauskommt dazwischen alle Werte ?
wie kommst du dann von nach ? und dann nach und zurücl zu
und kannst du den Einheitspreis parametrisieren
Gruß ledum
TestAccount1245

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21:02 Uhr, 16.05.2016

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Den unteren Teil hab ich mal berechnet. Da komme ich auf 0.
Stimmt das so?

Und das gleiche jetzt für die 3 anderen Seiten, oder?

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ledum

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00:55 Uhr, 17.05.2016

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Hallo
richtig und ja
Gruß ledum
TestAccount1245

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13:00 Uhr, 17.05.2016

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Passt bei (a) W = 8?

Und was sind die Grenzen bei (b)?
Wenn mir das bitte jemand erklären könnte.



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Antwort
ledum

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13:14 Uhr, 17.05.2016

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Hallo
das Ergebnis für das dritte Integral ist falsch, vergleiche mit dem ersten!
der Rest ist richtig.
der ansatz für den Kreis ist richtig.
besser wäre du würdest nicht mit rechnen sondern direkt im Integral rechnen (wenn du später auch rechnest wird das leicht falsch.)
Grenzen für um einmal um den Kreis zu laufen muss der Winkel von 0 bis wo laufen?
Gruß ledum
TestAccount1245

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13:27 Uhr, 17.05.2016

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Beim 3. Integral komme ich jetzt auf 0. Insgesamt dann auf W = 4.

Muss man beim Einheitskreis wieder 4 Unterscheidungen machen?

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Antwort
DerDepp

DerDepp aktiv_icon

13:39 Uhr, 17.05.2016

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Hossa :-)

Das Arbeitsintegral auf einem Weg von zu durch das Kraftfeld ist



ist unabhängig vom gewählten Weg. Wenn Start- und Endpunkt gleich sind (also und ) wird keine Arbeit geleistet und das Integral ist 0.

Du solltest also auf beiden Wegen (Quadrat und Kreis) als Ergebnis 0 erhalten...

Tipp: Achte auf die Richtung im Weg. Dein drittes Wegstück beim Quadrat geht z.B. in die falsche Richtung. Du befindest dich rechts oben und willst nach links oben. Also läuft von 1 nach -1. Daher musst du die Integrationsgrenzen vertauschen.
TestAccount1245

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14:14 Uhr, 17.05.2016

Antworten
Ok, danke dir für die Erklärung.

Bin jetzt leicht verwirrt. :-)

Wie kommst du da auf ?

Und beim Kreis muss ich das auch für die 4 Abschnitte machen, oder?
TestAccount1245

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15:39 Uhr, 17.05.2016

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Kannst du mir das bitte erklären? :-)
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

15:59 Uhr, 17.05.2016

Antworten
Hallo
1. bei dem wurde benutzt, dass der grad eines Potentials ist. das Poteintial ist .
in welche Teile willst du denn deinen Kreis einteilen? wie kommt man einmal um den Kreis rum. bei dem Quadrat brauchtest du ka 4 verschiedene Wege, die nicht differenzierter aneinander passten, du hast aber nur einmal über den Weg integriert. ein bisse selbständig überlegen würde dir guttun!
ich denke du solltest wirklich das Integral Fdr lösen und nicht das Potential benutzen, es sei denn ihr hättet das schon besprochen.
Gruß ledum
TestAccount1245

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20:41 Uhr, 17.05.2016

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Laut @DerDepp sollte bei beiden 0 rauskommen.
Hab mein Integral für den Einheitskreis nun aufgeschrieben.
Aber da kommt ja nicht 0 raus. Wo ist mein Fehler?

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Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

21:06 Uhr, 17.05.2016

Antworten
hallo
dein Wertebereich für ist sinnlos was soll es über dieses Kreisstück zu integrieren.
wo auf dem Kreis du anfängst ist egal, üblich ist bei also wie weit musst du mit gehen um wieder bei anzukommen?
Das hatte ich schon mal gefragt, bitte gib auf posts Antworten.
(denk dran nicht in Grad, sondern im Bogennass)
hast du den die Parametrisierung nicht wirklich verstanden?
Wenn du in noch coe^2=1-sin^2 einsetz werden die Integral einfacher
Gruß ledum
TestAccount1245

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21:11 Uhr, 17.05.2016

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Von 0 bis 2?
Antwort
ledum

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21:36 Uhr, 17.05.2016

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warum fragst du? probier doch aus ob du damit einmal um den Kreis rumkommst
Gruß ledum
TestAccount1245

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21:46 Uhr, 17.05.2016

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Mein Quadrat stimmt ja dann auch nicht. Weil ich komm ja auf 8.
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

01:17 Uhr, 18.05.2016

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Hallo
die Fehler darin wurden dir gesagt.liest du eigentlich unsere antworten gründlich?
der post von Uhr, war die 4 auch galsch sieh dir deinen Zettel und das Integral auf dem ersten weg npchmal an und arbeite langsamer und grümdlicher,
Gruß ledum
Antwort
DerDepp

DerDepp aktiv_icon

01:58 Uhr, 18.05.2016

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Hossa :-)

Wenn du das Potential nicht benutzen möchtest, hier die ausführliche Rechnung für den Kreis:



Auf dem Weg ist und . Das kannst du in einsetzen:



Da nun nur noch von abhängt, bietet es sich an, über statt über zu integrieren. Dafür substituierst du wie folgt:



Damit lautet das Arbeitsintegral:





Bei dem Quadrat warst du doch schon fast richtig. Du hattest nur die Integrationsgrenzen vertauscht. Hier nochmal das Quadrat mit seinen 4 Teilwegen bis . Wir laufen links unten los und dann einmal linksherum um das Quadrat:

von links unten nach rechts unten

von rechts unten nach rechts oben

von rechts oben nach links oben (andersrum als )

von links oben nach links unten (andersrum als )

Wie oben beim Kreis kannst du auf den 4 Teilwegen nun und durch die entsprechenden Wegkoordinaten ersetzen und nach integrieren:









Damit hast du das Arbeitsintegral reduziert:






TestAccount1245

TestAccount1245 aktiv_icon

18:50 Uhr, 18.05.2016

Antworten
F ist ja (2xy, x^2)

Da komm ich dann beim Quadrat schon wieder nicht auf 0.
Frage beantwortet
TestAccount1245

TestAccount1245 aktiv_icon

19:09 Uhr, 18.05.2016

Antworten
Hat sich erledigt. Danke euch!