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Berechnen Schnittpunkte 4.Grades u. einer Funktion

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Schnittpunkt

Luna98 aktiv_icon

12:01 Uhr, 18.03.2012

Hallo,
ich soll die Schnittpunkte der Funktion

y = - 0,2 x^{4} + x^{2}

mit der Geraden

y = 1

berechnen.
Also, soweit komme ich

- 0,2 x^{4} + x^{2} = 1

- 0,2 x^{4} + x^{2} - 1 = 0

Aber komme leider nicht weiter...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Matheboss aktiv_icon

12:09 Uhr, 18.03.2012

Substituiere

x^{2} = z

dann erhältst Du eine quadratische Gleichung für

z,

die Du mit der Lösungsformel lösen kannst!

- 0,2 \cdot z^{2} + z - 1 = 0

Dann wieder re-substituieren nach

x

auflösen!

Luna98 aktiv_icon

13:16 Uhr, 18.03.2012

Aber wenn doch

x^{2}

ausgeklammert wird erhalte ich doch

- 0,2 x^{2} + x - 1

Kapiere es einfach nicht

: ((

Eva88 aktiv_icon

13:25 Uhr, 18.03.2012

ja genau, und jetzt mit PQ weiter.

Matheboss aktiv_icon

13:38 Uhr, 18.03.2012

Hier wird nicht ausgeklammert, geht auch nicht so, sondern substituiert! Siehe oben!
Substituieren heißt "Ersetzen", also an Stelle von

x^{2}

wird

z

gesetzt.

- 0,2 \cdot z^{2} + z - 1 = 0

z_{1; 2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 0,2) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (-,02)}

ergibt

z_{1} = 1,38197

z_{2} = 3,61803

Jetzt resubstituieren
Lösung mit

z_{1}

x^{2} = 1,38179

daraus folgt

x_{1} = 1,18

x_{2} = - 1,18

Lösung mit

z_{2}

x^{2} = 3,61803

x_{3} = 1,9

x_{4} = - 1,9

Luna98 aktiv_icon

13:49 Uhr, 18.03.2012

Hab es mit der ABC-Formel gerechnet...

Verstehe trotzdem nicht ganz...Suche ja die Schnittpunkte...

- 0,2 x^{2} + 1 x - 1 = 0

Hab jetzt für

x 1 : 1,375

und

x 2 : 3,625

raus

Aber Schnittpunkte sind doch immer

P (\frac{x}{y})

muss ich alle Werte noch in die Geraden-Gleichung einsetzen?

Fehlt mir nicht noch

x 3

Luna98 aktiv_icon

13:56 Uhr, 18.03.2012

Ah es gibt sogar noch

x 4 . .

.
Ok bis

x 1

und

x 2

ist es mir klar, aber wie man

x 3

und

x 4

rechnet verstehe ich noch nicht ganz?

Matheboss aktiv_icon

14:00 Uhr, 18.03.2012

Du hast eine Gleichung für

z,

nicht für

x!

Dein Fehler ist, dass nicht

x_{1} = 1,375

ist sondern

z_{1} = 1,375

x^{2} = z

folgt

x^{2} = 1,375

x_{1; 2} = \pm \sqrt{1,375}

und jetzt

z_{2} = 3,618

x_{3; 4} = \pm \sqrt{3,618}

also 4 Lösungen. Siehe oben!

Die y-Koordinaten sind doch alle

y = 1

Du schneidest doch mit der Geraden

y = 1

Luna98 aktiv_icon

14:03 Uhr, 18.03.2012

Moment mal: wenn ich

x^{2}

ausklammere, erhalte ich doch die

f (x) : - 0,2 x^{2} + 1 - 1

bzw.

: - 0,2 x^{2}

Matheboss aktiv_icon

14:06 Uhr, 18.03.2012

Du kannst aus der Funktion

f (x) = - 0,2 \cdot x^{4} + x^{2} = x^{2} \cdot (- 0,2 \cdot x^{2} + 1)

x^{2}

ausklammern,

aber nicht aus der Gleichung

- 0,2 \cdot x^{4} + x^{2} - 1 = 0

x^{2} (- 0,2 \cdot x^{2} + 1 - \frac{1}{x^{2}}) = 0

bringt doch nichts!

Luna98 aktiv_icon

14:10 Uhr, 18.03.2012

Ok jetzt verstehe ich so langsam ;-) aber

z

ist mir ein neuer Begriff. Wieso rechnet man

x 3

und

x 4

so?

Matheboss aktiv_icon

14:17 Uhr, 18.03.2012

Luna, diese Gleichung ist eine sogenannte biquadr. Gleichung (also Doppeltquadr.).

- 0,2 \cdot x^{4} + x^{2} - 1 = 0

Zum einfacheren Rechnen ersetzé ich

x^{2}

durch

z

x^{2} = z

x^{4} = z^{2}

Daraus folgt

- 0,2 \cdot z^{2} + z - 1 = 0

Jetzt kann ich die Lösungsformel benutzen und erhalte hier zwei positive Löungen für

z

.

Dann mache ich das Ganze rückgängig und ersetzt wieder

x^{2}

=(Lösung

) z_{1}

x^{2} = z_{2}

und erhalte hier vier Lösungen für

x

(siehe oben)

Luna98 aktiv_icon

14:20 Uhr, 18.03.2012

Hab es verstanden. Nur noch eine Frage: kann man das bei allen

x^{4} + x^{2}

so anwenden?
Vielen Dank für deine Mühe.

Matheboss aktiv_icon

14:27 Uhr, 18.03.2012

Das geht natürlich nur, wenn

nur

x^{4}

und

x^{2}

vorkommen

oder

x^{6}

und

x^{3}

geht auch mit

x^{3} = z

also immer wenn ich so ersetzen kann,

a \cdot {(x^{n})}^{2} + b \cdot x^{n} + c = 0

dann substituiere ich

x^{n} = z

Luna98 aktiv_icon

14:35 Uhr, 18.03.2012

Danke :-))

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