Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Berechnung eines Grenzwertes in einem Wurzelterm

Berechnung eines Grenzwertes in einem Wurzelterm

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Binomische Formeln, Folge, Grenzwert

Neutron7 aktiv_icon

16:27 Uhr, 14.04.2016

Hallo liebe OnlineMathe-Gemeinde,

ich bin neulich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Berechnen Sie die Grenzwerte der nachstehenden Folgen für

n \to \infty,

falls sie existieren.

a)

(Habe ich bereits gelöst.)

b) b_{1} = \sqrt{n^{2} + n} - n

Hinweis: Denken Sie auch mal wieder an die Binomischen Formeln.

Habe einiges versucht, Quadrieren und Wurzelziehen, Umformen und Anwendung der binomischen Formeln. Etwas Vernünftiges ist dabei jedoch nicht herausgekommen.

Ein Tipp wie der erste Schritt zu machen ist würde mir wahrscheinlich schon reichen, den Rest würde ich erstmal selbst angehen.

PS: Die Lösung ist gegeben. Mich interessiert jedoch der Weg dahin.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Binomische Formeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Binomische Formeln erkennen und anwenden
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Bummerang

16:32 Uhr, 14.04.2016

Hallo,

"Habe einiges versucht, Quadrieren und Wurzelziehen, Umformen und Anwendung der binomischen Formeln. Etwas Vernünftiges ist dabei jedoch nicht herausgekommen."

Da der Hinweis sagt, dass man an die binomischen Formeln denken soll, würde mich mal interessieren, was Du da unternommen hast, was Du dann als unvernünftig abgetan hast!

Was Du unternehmen solltest ist, die Wurzel wegzubekommen, so dass da nicht mehr

\sqrt{n^{2} \pm \dots} - n

steht sondern eher so was wie

n^{2} \pm \dots - n^{2}

. Wenn Du jetzt noch an binomische Formeln denkst, dann fällt Dir vielleicht der Weg dahin ein...

Neutron7 aktiv_icon

17:01 Uhr, 14.04.2016

Hallo,

eine Idee war den gesamten Term zu quadrieren und anschließend die Wurzel zu ziehen.

b_{1} = \sqrt{n^{2} + n} - n

\sqrt{{(b_{1})}^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{n^{2} + n} - n)}^{2}}

b_{1} = \sqrt{n^{2} + n - 2 n \sqrt{n^{2} + n} + n^{2}}

Das sieht deinem Hinweis schon fast ähnlich.
Auch habe ich eine binomische Formel angewendet, jedoch tauchen jetzt 2 Wurzeln auf, vom Gefühl her eher ein Schritt von der richtigen Lösung weg.

Bummerang

18:02 Uhr, 14.04.2016

Hallo,

"... om Gefühl her eher ein Schritt von der richtigen Lösung weg."

Womit Du klar recht hast! Der Trick aus dem Hinweis will Dir sagen, dass Du den Ausdruck mal mit

\frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt{n^{2} + n} + n}

multiplizieren sollst! Der Quotiente ergibt ja 1 und mit 1 darf man multiplizieren, ohne den Wert zu ändern!

Neutron7 aktiv_icon

18:43 Uhr, 14.04.2016

Hallo,

b_{1} = \frac{(\sqrt{n^{2} + n} - n) (\sqrt{n^{2} + n} + n)}{\sqrt{n^{2} + n} + n} = \frac{n^{2} + n - n^{2}}{\sqrt{n^{2} + n} + n}

n^{2} - n^{2}

im Nenner ist 0.

b_{1} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2} (1 + \frac{1}{n})} + n} = \frac{n}{n \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + n}

n

ausklammern.

b_{1} = \frac{n}{n (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)}

n

kürzen.

b_{1} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}

Grenzwertbetrachtung

lim_{n \to \infty} b_{1} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}

lim_{n \to \infty} b_{1} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\infty}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}

\frac{1}{2}

ist auch die vorgegebene Lösung, der Rechenweg hoffentlich richtig.

Vielen Dank für die ausgesprochen kompetente Hilfe.
Der Tipp mit

\frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt{n^{2} + n} + n}

zu erweitern hat den Stein ins rollen gebracht, der mir ermöglichte die Aufgabe zu lösen. :-)

1301103

1301067

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?