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Berechnungen an einem Prisma (Vektoriell)
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Ebene, Fläche, Gerade, Prisma, Spatprodukt, Vektorrechnung, Volumen
 
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Bräuchte wieder hilfe bei folgender Aufgabe Von einem Prisma ABCDEFGH sind die Punkte und gegeben. Untersuche ob die Grundfläche ABCD ein besonderes Viereck ist.Welche Seitenflächen des Prismas haben den größten Flächeninhalt. Diesen Teil der Aufgabe habe ich (denke ich) verstanden und (hoffentlich) auch richtig. http//666kb.com/i/bc815njadmtked4id.jpg Welche zur Grundfläche parallen Ebenen zerlegen das Prisma in 2 Teilkörper, deren Volumina im Verhältnis steht? Hier wusst ich nicht genau wie ich vorgehen soll.Zuerst hab ich das Volumen insgesamt ausgerechnet und dann hab Ich die Koordinatenform der Ebene der Grundfläche ausgerechnet. Dann das Volumen gesetzt und den Vektor der Höhe als . Ich bin eigentlich davon ausgegangen, dass nun eine Ebene mit rauskommt und somit wär die Aufgabe gelöst. Aber die Ebene muss leider parallel sein, und ab da wusst ich nicht genau wie ich vorgehen sollte. http//666kb.com/i/bc818jcle8pwtmfpx.jpg c)Untersuche Rechnerisch ob der Punkt im Inneren des Prismas liegt. Ich bin mir recht sicher, dass wir sowas nie gelöst haben, würd mich aber gern intressiern wie man hier vorgehen soll. Glaube zwar auch, dass es nicht wirklich für die Klausur wichtig ist, aber nur für alle Fälle ;-)   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Prisma (Mathematischer Grundbegriff) Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Abstand Punkt Ebene Ebene Geometrie - Einführung Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Ebene - Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Lotfußpunkt auf Ebene Abstand Punkt Ebene Ebene Geometrie - Einführung Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Ebene - Ebene Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) |
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Zu Die gesuchten Ebenen müssen parallel zur Basis- und Deckebene sein. Sie müssen die Verbindungskanten der Basis- und Deckfläche im Verhältnis bzw. schneiden. Also stell doch die Basisebene in Parameterform auf, berechne die zwei Punkte, die eine der Kanten im nötigen Verhältnis teilen und stelle die gesuchten Ebenen so auf, dass sie die Richtungsvektoren der Basis-/Deckebene und einen der beiden Punkte als Aufpunkte haben. Zu Man könnte doch den Vektor AP aufstellen und dann über die Winkel zwischen ihm und AB, AD und AF (bzw. eben den Vektor, der sonst noch an A hängt, könnte evtl. ein anderer als AF sein) auf seine Lage schließen. Ist aber umständlich. :-) |
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"Also stell doch die Basisebene in Parameterform auf, berechne die zwei Punkte, die eine der Kanten im nötigen Verhältnis teilen " Welche kanten sind genau damit gemeint? Ist es die Kante BF oder CG? Also die Höhenkanten? ich soll die Länge Höhenkante BF in teilen? |
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Ja genau. Eigentlich müsste man die Höhe teilen aber bei einem Prisma kann man auch eine Kante hernehmen (weil alle Verbindungskanten parallel und gleich lang sind und im gleichen Winkel zur Höhe stehen). |
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okay, das hab ich jetzt errechnet http//666kb.com/i/bc823zf5llexpoa39.jpg und nun nutze ich die länge von 1/4BF als Abstand von Punkt zur Ebene und errechne den Punkt richtig? Der Punkt wird dann als Stützvektor in die Parameterform der neuen Ebene eingesetzt während die 2 Richtungsvektoren dieselben bleiben? |
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und nun nutze ich die länge von 1/4BF als Abstand von Punkt zur Ebene Da bin ich mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstehe, aber richtig wäre es natürlich nicht die Länge als Abstand zu nehmen (der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene wird ja immer am Lot gemessen) sondern gleich ein Viertel des Vektors zu nehmen (also K=B+BF/4 und zwar alles vektoriell). |
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das mit dem Lot ist mir total entfallen, aber ich weiß jetzt was gemeint ist. Also müsste die Parameterform der Ebene so aussehen : http//666kb.com/i/bc82gp8zn2ain7cfd.jpg Zu nun: "Man könnte doch den Vektor AP aufstellen und dann über die Winkel zwischen ihm und AB, AD und AF" Was ich nicht ganz verstehe ist, was mir ein Winkel genau bringen soll um zu prüfen, ob der Punkt im Prisma steckt. |
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Ja, sieht gut aus. Und die andere Ebene kriegst du mit statt als Koeffizient. Hmm, die Idee war, dass wenn alle Winkel unter 90° sind, der Punkt im Prisma liegt, aber das stimmt wohl nicht... Da kommt mir aber eine andere Idee (die aber auch etwas umständlich ist): Man könnte doch die Abstände des Punktes zu allen sechs Ebenen berechnen. Wenn einer der Abstände größer ist als der Abstand der jeweiligen Ebene zu ihrer Gegenebene, dann liegt der Punkt außerhalb des Prismas. Aber die Lösung ist alles andere als elegant. :-) edit: Oh, ich seh gerade bei deiner Rechnung, dass die Vektoren und gleich sind. Ist es nur ein Zufall, oder evtl. doch ein Denkfehler? :-) ist ja der Ortsvektor des Punkts und ist der Vektor zwischen den Punkten und also nicht das Gleiche... |
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ah okay danke äh weder noch *ups*... Hab mich in der Zeile verlesen. BF müsste sein wenn ich mich nit verrechnet hab.... zu Die Lösung zu klingt sehr kompliziert und hab leider auch gerade nicht die Zeit alles einzeln auszurechnen, klingt aber recht logisch und glücklicherweise bin ich recht geübt in Abständen ausrechnen, also müsste das theorettisch gesehen jetzt kein großes problem sein ;-) Werds versuchen wenn ich etwas mehr Zeit dafür finde. Danke :-D) |
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Achja, Zeilen vertauschen und falsch abschreiben, kenn ich nur zu gut. :-D) |
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