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Bereichsintegrale berechnen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Bereichsintegral, Integral

kyvjv aktiv_icon

00:54 Uhr, 06.01.2012

Hallo,

vllt. ist es auch schon zu spät, aber irgendwie schaffe ich es gerade nicht bei folgender Aufgabe die x,y,z richtig aufzudröseln:

Berechnen Sie folgendes Bereichsintegral

\int_{A}^{} \frac{y}{(x ² + y ²)} d (x, y, z)

mit:

0 \leq z \leq x \leq y

und:

1 \leq x ² + y ² \leq 4

Ich habe mir als Integrationsreihenfolge y,x,z überlegt und entsprechend versucht, den Definitionsbereich für y herauszufinden.
Dabei erhalte ich

y \geq \sqrt{1 - x ²}, y \leq - \sqrt{1 - x ²}, y \leq \sqrt{4 - x ²}, y \geq - \sqrt{4 - x ²}

und jetzt weiß ich nicht so recht,wie ich es damit verbinden soll, dass x,y,z jeweils immer positiv sind...

Liebe Grüße und danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DerDepp aktiv_icon

13:40 Uhr, 06.01.2012

Hossa ;-)

Diese Aufgabe ist in kartesischen Koordinaten ein ziemliches Gefummel. Wenn du schon Zylinder-Koordinaten durchgenommen hast, empfehle ich dringend, darauf zu wechseln.

(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}) \to (\begin{array}{c} r \cos ϕ \\ r \sin ϕ \\ z \end{array}); d V = d x d y d z = r d r d ϕ d z

Die Bedinungen lauten:

1)

0 \leq z \leq x \leq y

1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4

Daraus ergeben sich die Integrationsgrenzen wie folgt:

1)

\overset{}{\Rightarrow} 0 \leq z \leq x \overset{}{\Rightarrow} 0 \leq z \leq r \cos ϕ

\overset{}{\Rightarrow} x \geq 0 \overset{}{\Rightarrow} r \cos ϕ \geq 0 \overset{}{\Rightarrow} \cos ϕ \geq 0 \overset{}{\Rightarrow} - \frac{π}{2} \leq ϕ \leq \frac{π}{2}

\overset{}{\Rightarrow} y \geq x \overset{}{\Rightarrow} r \sin ϕ \geq r \cos ϕ \overset{}{\Rightarrow} \tan ϕ \geq 1 \overset{}{\Rightarrow} \frac{π}{4} \leq ϕ < \frac{π}{2}

\overset{}{\Rightarrow} 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 \overset{}{\Rightarrow} 1 \leq r^{2} \cos^{2} ϕ + r^{2} \sin^{2} ϕ \leq 4 \overset{}{\Rightarrow} 1 \leq r^{2} \leq 4 \overset{}{\Rightarrow} 1 \leq r \leq 2

Also lauten die Integrationsgrenzen:

r \in [1; 2]; ϕ \in [\frac{π}{4}; \frac{π}{2} [; z \in [0; r \cos ϕ]

und das Integral vereinfacht sich sehr zu:

\int_{V} \frac{y}{x^{2} + y^{2}} d V = \int_{1}^{2} d r \int_{π / 4}^{π / 2} d ϕ \int_{0}^{r \cos ϕ} \sin ϕ d z

Das musst du nur noch ausrechnen...

Ok?

kyvjv aktiv_icon

14:31 Uhr, 08.01.2012

Vielen Dank für die ausführliche Antwort... ja wir hatten irgendwannmal auch diese Darstellung mit Zylinder-Koordinaten.

Wenn ich das alles einsetze und ausrechne, erhalte ich 1/4:

r*sin(phi)/(r²*cos²(phi)+r²*sin²(phi) = 1/r*sin(phi)
wenn ich zuerst nach z integriere, erhalte ich 1/r*sin(phi)*r*cos(phi)=sin(phi)*cos(phi)
das nach phi integriert, gibt nach partieller integration, wenn ich mich nicht irre, -1/2*cos²(phi) und grenzen eingesetzt:
-1/2*[cos²(pi/2)-cos²(pi/4)]=1/2*1/2 = 1/4
jetzt noch nach r integriert gibt 1/4

oder?
sry, wenn das jetzt etwas durcheinander ist, aber ich wollte nicht immer die integralzeichen hinschreiben...

Liebe Grüße

Generelle Frage: Wann kann man die Zylinder-Koordinaten anwenden?

DerDepp aktiv_icon

14:51 Uhr, 08.01.2012

Hossa ;-)

Du scheinst ein r zu viel zu haben. Beim Übergang von kartesichen Koordinaten

(x, y, z)

zu Zylinderkoordinaten

(r, ρ, z)

musst du auch das Volumenelement substituieren:

d V = d x d y d z = r \cdot d r d ϕ d z

Beachte, dass da "r" als Faktor auftaucht. Wenn du nun alles in dein Integral einsetzt erhälst du (Integralzeichen und Grenzen habe ich jetzt mal weggelassen):

\frac{y}{x^{2} + y^{2}} d V = \frac{r \sin ϕ}{r^{2} \cos^{2} ϕ + r^{2} \sin^{2} ϕ} r \cdot d r d ϕ d z = \frac{r \sin ϕ}{r^{2}} r \cdot d r d ϕ d z = \sin ϕ d r d ϕ d z

Das Integral ist also genau so, wie ich es oben geschrieben habe:

Die erste Integration über z liefert:

\int_{0}^{r \cos ϕ} \sin ϕ d z = r \sin ϕ \cos ϕ = \frac{1}{2} r \sin (2 ϕ)

Das musst du nur noch nach

ϕ

und nach

r

integrieren...

Polarkoordinaten (in 2 Dimensionen) bzw. Zylinderkoordinaten (in 3 Dimensionen) bieten sich oft an, wenn du irgendwas mit

x^{2} + y^{2}

integrieren musst, weil das dann genau gleich

r^{2}

wird. Generell ist mir allerdings keine Regel bekannt, wie man so etwas "automatisch" sehen kann. Ist ein bisschen Erfahrungssache.

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