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Bestimmen einer Tangentialebene inkl. Berührpunkt

Schüler Gymnasium,

Tags: Berührpunkt, eben, Kreis, Kugel, Kugelgeometrie, Normalenvektor, Radius, Tangentialebene

 
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MatheBoy07

MatheBoy07 aktiv_icon

17:31 Uhr, 21.05.2017

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Hallo liebes Mathe-Forum,

ich habe folgende Aufgabe von meinem Mathelehrer bekommen und bin mir bei einem Schritt nicht ganz sicher, wie ich weiterkomme. Die Aufgabe ist folgende:

Bestimmen Sie die Tangentialebenen an die Kugel k, die parallel zur Ebene E sind, sowie die Koordinaten der Berührpunkte.

E: 3x1-6x2+2x3 = 0

k: x12+x22+x32=196

Offensichtlich ist der Mittelpunkt der Kugel M(0|0|0) und der Radius r=14.
Nun bin ich wie folgt vorgegangen:

1. Aufstellen einer Lotgerade durch M orthogonal zu E:

g: x= (000) + t* (3-62)

Nun hatte ich vor die Gerade mit der Kugel zu schneiden, also dementsprechend die Geradengleichung in die Kugelgleichung einzusetzen. Hier komme ich nun aber nicht weiter, wie setze ich die Gerade in Kugel ein?

Ich wäre euch sehr verbunden wenn ihr mir helfen könntet. Vielen Dank im Voraus! :-)






Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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mihisu

mihisu aktiv_icon

17:39 Uhr, 21.05.2017

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Nach Geradengleichung ist

(x1x2x3)=x→=(000)+t⋅(3-62)=(3t-6t2t).

Es soll also x1=3t und x2=-6t und x3=2t sein.

Einsetzen in die Kugelgleichung liefert:

(3t)2+(-6t)2+(2t)2=196

[Daraus kann man Lösungen für t bestimmen, die man in die Geradengleichung einsetzen kann, um die von dir gesuchten Schnittpunkte zu erhalten.]
MatheBoy07

MatheBoy07 aktiv_icon

18:26 Uhr, 21.05.2017

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Alles klar, danke.

Dann komme ich auf:

9t2+36t2+2t2=196

49t2=196

t2=4

t1=2
t2=-2

Einsetzen in g ergibt folgende Berührpunkte:
B1: (6-124)

B2: (-612-4)

Und wenn ich folglich die Punkte in E einsetze bekomme ich folgende Tangentialebenen:

E1=3x1-6x2+2x3=98

E2=3x1-6x2+2x3=-98

Ist das soweit richtig?





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mihisu

mihisu aktiv_icon

20:07 Uhr, 21.05.2017

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Ja, das passt.