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Bestimmtes Integral lösen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integral, Integration

poetman aktiv_icon

16:41 Uhr, 12.10.2009

Hallo ich habe ein bestimmtes Integral und muss es lösen. Ein Kommilitone hat eine Lösung gefunden, die ich nicht nachvollzogen bekomme. Die Frage ist jetzt: hat er Recht oder nicht?^^

Hier also der Rechenweg, bei dem mir Omegapirat aus diesem Forum schon entscheidene Tipps zur Lösung gegeben hat.

Die Ursprungsaufgabe lautet:

Gegeben sei der Oertsvektor einer Schraubenlinie. Berechnen sie die Bogenlänge für einen vollen Umlauf.

d . h

. für

0 \leq t \leq 2

Geg.:

\vec{r} (t) = (\begin{matrix} t \\ sin (π t) \\ cos (π t) \end{matrix}), t \geq 0

Vorgehensweise:

Komponentenweise Ableiten:

t \to 1

sin (π t) \to cos (π t) π

cos (π t) \to - sin (π t) π

Allg. Formel zur Berechnung des Bogenmaßes:

L = \int_{b}^{a} | \vec{r}' | d t = \int_{0}^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

L = \int_{0}^{2} \sqrt{1^{2} + {(cos (π t) \cdot π)}^{2} + {(- sin (π t) \cdot π)}^{2}}

soweit also das bestimmte Integral

Mein werter Herr Kommilitone hat nun nach Lösen des Integrals

L = 6,594

heraus. Könnte jemand überprüfen ob das so stimmt und mir den WEG, der dort hinführt detailiert aufschreiben? Ich wäre euch sehr dankbar. Lg der poetman

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Manuel93 aktiv_icon

18:01 Uhr, 12.10.2009

Ehm... steckt in dem Integral nicht der trigonometrische Pythagoras?

Also wäre :

\int_{0}^{2} \sqrt{1 + {(cos (π \cdot t) \cdot π)}^{2} + {(- sin (π \cdot t) \cdot π)}^{2}}

doch genau das selbe wie

\int_{0}^{2} \sqrt{1 + {cos}^{2} (π \cdot t) \cdot π^{2} + {sin}^{2} (π \cdot t) \cdot π^{2}} \Rightarrow \int_{0}^{2} \sqrt{1 + π^{2} ({cos}^{2} (π \cdot t) + {sin}^{2} (π \cdot t))} \Rightarrow \int_{0}^{2} \sqrt{1 + π^{2}}

sollte richtig sein ;-)

Gruß Manuel

poetman aktiv_icon

14:09 Uhr, 13.10.2009

ok soweit so klar... doch wie setzte ich jetzt die Zahlen der obereun und unteren Grenze ein?

\int_{0}^{2} \sqrt{10,8696} d t

= 3,2969 |_{0}^{2}

= 3,2969 \cdot 2 + 3,2969 \cdot 0

= 6,5938

macht man das so?

Lg der

p

Manuel93 aktiv_icon

14:20 Uhr, 13.10.2009

Ok, dann sind wir schon mal mit dem Vorschlag zu frieden :-)

Ehm, da wir in dem Integral keine Variable mehr zur verfügung haben, multiplizieren wir das Ergebnis von

\sqrt{1 + π^{2}}

mit der Differenz von oberer und unterer Grenze

(2 - 0)

. Und schon haben wir unser Ergebniss vorliegen.

\int_{0}^{2} \sqrt{1 + π^{2}} \Rightarrow (2 - 0) \cdot \sqrt{1 + π^{2}} \Rightarrow 6,5938

Also stimmt auch dein Schritt zur Berechnung... :-)

Lg Manuel

poetman aktiv_icon

14:33 Uhr, 13.10.2009

Dieser Schritt war nochmal interessant für mich, weil es ja auch sein könnte, dass die Grenzen bei

\int_{1}^{2}

liegen...

also obere - untere Grenze mal Wert aus dem gelösten Integral

...sehr schön.

Dank dir vielmals der poetman

Manuel93 aktiv_icon

14:51 Uhr, 13.10.2009

Richtig. Gern geschehen.

Manuel

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