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Beweis eines Grenzwertes k-te Wurzel aus a

Schüler , 12. Klassenstufe

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen, Grenzwert, n-te Wurzel, Reihen

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18:33 Uhr, 17.12.2012

(Falls ein Mod das liest: Bitte verschieben zu den Studenten-Fragen. Habe zu spät gesehen das ich noch alte Daten in meinem Profil hatte.)

Hi,

folgendes Problem:

Ich soll mit Hilfe einer Abschätzung beweisen, dass gilt:

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{a} = 1

für

k \in ℕ, a \in ℝ

und

a > 0

Ich habe das ganze wie folgt angefangen:

| \sqrt[k]{a} - 1 | = d \leq ε

für

a \geq 1

gilt dann:

| \sqrt[k]{a} - 1 | = \sqrt[k]{a} - 1

a = {(\sqrt[k]{a} - 1)}^{k} = {(d + 1)}^{k}

Mit Hilfe des Binominalsatz aufgelöst anschließend abgeschätzt und umgestellt

d \leq \frac{a - 1}{k} \leq ε

für

k \geq \frac{a - 1}{ε}

Diese Abschätzung ist zwar grob, aber funktioniert.

Allerdings bereitet mir die Abschätzung für

0 < a < 1

Probleme

dort gilt:

| \sqrt[k]{a} - 1 | = 1 - \sqrt[k]{a} = - d

Wenn ich nach dem gleichen Ansatz vorgehe komme ich irgendwann auf:

d \geq \frac{1 - a}{k}

Allerdings weiß ich ab dann nicht mehr weiter wie ich dort noch zu einem Ergebnis kommen soll.

Hat Jemand eine Idee? Danke schonmal im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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anonymous

19:48 Uhr, 17.12.2012

Behauptung:

lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{a} = 1

a > 0

Ansatz:

\sqrt[k]{a} = n

ln (\sqrt[k]{a}) = ln (n)

(\frac{1}{k}) \cdot ln (a) = ln (n)

lim_{k \to \infty} (\frac{1}{k}) \cdot ln (a) = 0 \Rightarrow lim_{k \to \infty} ln (n) = 0 \Rightarrow lim_{k \to \infty} n = 1

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20:00 Uhr, 17.12.2012

Hi,

danke schonmal für deine Antwort.

Ich fasse mal deine letzte Zeile in Worte:

1. Für

k \to \infty

läuft

(\frac{1}{k}) \cdot log (a)

gegen 0.

2. Weil

(\frac{1}{k}) \cdot log (a)

gegen 0 läuft, tut das auch

log (n),

da gilt

: (\frac{1}{k}) \cdot log (a) = log (n)

3. Den Schritt habe ich nicht verstanden ;-)

Stimmt das soweit? Kannst du den dritten Schritt nochmal kurz erklären?

Offiziell hatten wir Logarithmen noch nicht in der Vorlesung, weswegen ich versucht habe es ohne zu lösen. Kennst du einen Weg das noch anders zu lösen?

anonymous

20:07 Uhr, 17.12.2012

\sqrt[k]{a} = n

ln (\sqrt[k]{a}) = ln (n)

(\frac{1}{k}) \cdot ln (a) = ln (n)

lim_{k \to \infty} (\frac{1}{k}) \cdot ln (a) = lim_{k \to \infty} ln (n)

0 = lim_{k \to \infty} ln (n)

In Worten:

ln (n)

konvergiert für

k \to \infty

gegen 0. Daraus folgt, dass

n

gegen 1 konvergiert.
Das ist natürlich keine Abschätzung und basiert auf Eigenschaften der ln-Funktion.

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20:14 Uhr, 17.12.2012

Inwiefern wirkt sich das

k

dabei überhaupt aus?

lim_{k \to \infty} ln (n)

Wenn ich mich nicht ganz täusche ist das doch eine konstante Folge mit dem Grenzwert

ln (n)

.

Oder meintest du

lim_{n \to \infty} ln (n)

?

Und aus welcher Eigenschaft leitest du davon ab, dass

n

gegen 1 konvergiert?

anonymous

20:18 Uhr, 17.12.2012

Es war

lim_{k \to \infty} ln (n)

Über das

n (

das ist das Ergebnis von

\sqrt[k]{a})

können wir keine Angaben machen, wir wissen nur, dass

ln (n)

nach 0 konvergiert und deshalb

n

nach 1 konvergieren muss.
Aber eine Abschätzung wäre natürlich auch möglich, da fällt mir aber momentan nichts ein.

anonymous

20:23 Uhr, 17.12.2012

Sollte es

a > 0

oder

a > 1

heissen ?

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20:24 Uhr, 17.12.2012

OK alles klar jetzt habe ich deine Lösung verstanden. Danke dir.

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20:25 Uhr, 17.12.2012

Ne sollte schon

a > 0

sein. Ändert das etwas an der Lösung?

anonymous

20:28 Uhr, 17.12.2012

Nein.

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20:41 Uhr, 17.12.2012

OK dann nochmal danke ;-)

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