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Beweis zur Eindeutigkeit einer Tangente am Kreis
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Beweis, Differentialgeometrie, Eindeutigkeit, Geometrie, Skalarprodukt, Tangent
 
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Hallo liebe Community, ich soll als Übungsaufgabe beweisen, dass es genau eine Tangente gibt, die eindeutig ist. Dass es genau eine gibt, habe ich bereits bewiesen. Nun fehlt mir die Eindeutigkeit und ich bin die ganze Zeit am Grübeln. Kann mir jemand weiterhelfen? Beweisen Sie folgende Aussage: Zu jedem Punkt auf dem Kreis existiert GENAU EINE Tangente mit . Die Tangente hat die Geradengleichung <P-X, X-M> = 0. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Tangente (Mathematischer Grundbegriff) Sekante (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Eindeutig und genau eine ist doch absolut dasselbe. :-O |
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Hallo, ein akzeptierter Eindeutigkeitsbeweis hängt davon ab, was ihr schon dazu gemacht habt. Ich sehe an der Tangentengleichung, dass zumindest das Ergebnis bekannt sein dürfte dass die Veektor Tangentialpunkt-Mittelpunkt senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss wegen . Wenn es sich um eine Ebene handelt und Vektoren zur Verfügung stehen, könnte man damit sagen, dass dann eine Basis bilden. Nehmen wir einen Richtungsvektor einer weiteren Tangente her, so folgt, dass dieser als Linearkombination aus der Basis darstellbar sein muss: Die Orthogonalitätsbedingung führt zu , d.h. und sind kollinear (spezieller für linear abhängig), d.h. die zugehörigen Geraden sind parallel. Da sie durch den gleichen Punkt verlaufen, sind sie identisch. Das rein geometrische Argument könnte ebenfalls reichen: Beide Geraden sind senkrecht zu einer gegebenen Geraden (die durch Mittel- und Tangentialpunkt festgelegte nämlich) und daher parallel. Zudem gehen sie durch den gleichen Punkt . Aufgrund der Eindeutigkeit der Parallelen folgt, dass die Tangente eindeutig ist. Mfg Michael |
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