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Beweise mit periodischen und (un)geraden Funtkione

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Gerade Funktion, Integral, Periodische Funktionen, Ungerade Funktion

Novalis

23:14 Uhr, 11.10.2010

Im Anhang drei Beweise, die ich ausführen muss. Dass die so stimmen, ist hausverstandsmäßig völlig einsichtig, aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll - sobald ich integriere, habe ich ja nicht mehr f(x) (von dem ich gewisse Eigenschaften wie Periodizität oder gerade/ungerade kenne), sondern die Stammfunktion F(x). Ich weiß einfach nicht, wie ich das ansetzen soll. Bitte um Tipps.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

kalli

23:36 Uhr, 11.10.2010

Wenn eine ungerade Funktion integriert wird, dann ist diese gerade und damit gilt

F (a) = F (- a)

.

Vielleicht kannst Du damit einen Beweis basteln.

hagman aktiv_icon

23:36 Uhr, 11.10.2010

Es ist

I (a) := \int_{a}^{a + p} f (x) d x = F (a + p) - F (a)

.
Wenn man das als Funktion von

a

auffasst und ableitet, erhält man

I' (a) = F' (a + p) - F' (a) = f (a + p) - f (a)

Novalis

23:52 Uhr, 11.10.2010

@ kalli: danke, ich werd einmal schauen, aber ich fürchte, für diese tatsache müsste ich meinem übungsleiter auch erst einmal einen beweis präsentieren...

@hagman: das kann ich zwar nachvollziehen - aber inwiefern hilft mir das, zu beweisen, dass der Ausdruck von a unabhängig ist?

teppich aktiv_icon

02:54 Uhr, 12.10.2010

Mit Verweis auf die fortgeschrittene Uhrzeit vorerst nur Lösungen für (ii) und (iii):

(ii) sei

\forall x : f (- x) = - f (x)

, dann gilt

\begin{array}{rcl} \int_{- a}^{a} f (x) d x & = & \int_{- a}^{0} f (x) d x & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ = & \int_{- a}^{0} - f (- x) d x & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ S u b s t . : u = - x \\ = & \int_{a}^{0} f (u) d u & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ u m b e n e n n e n \\ = & \int_{a}^{0} f (x) d x & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ = & - \int_{0}^{a} f (x) d x & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ = & 0 \end{array}

(iii) sei

\forall x : f (- x) = f (x)

, dann gilt

\begin{array}{rcl} \int_{- a}^{a} f (x) d x & = & \int_{- a}^{0} f (x) d x & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ = & \int_{- a}^{0} f (- x) d x & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ S u b s t . : u = - x \\ = & \int_{a}^{0} - f (u) d u & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ u m b e n e n n e n \\ = & \int_{a}^{0} - f (x) d x & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ = & \int_{0}^{a} f (x) d x & + & \int_{0}^{a} f (x) d x \\ = & 2 \int_{0}^{a} f (x) d x \end{array}

Novalis

10:38 Uhr, 12.10.2010

toll, vielen dank!

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